TP n°1 : Conjecture et preuve

ANNÉE SCOLAIRE

2010-2011

Travaux pratiques en classe de Seconde

D IDIER P IHOUÉ

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

Table des matières TP n°1

: Conjecture et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

TP n°2

: Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

TP n°3

: Introduction à l’algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

TP n°4

: Algorithmique, suite ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Mr PIHOUE

Lycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

[ TP n°1 : Conjecture et preuve \ Dans la figure ci-contre, ODEF et OABC sont deux carrés construits dans un repère d’origine O. On a de plus A(0; 1), C(−1; 0) et D(a; 0) où a est un nombre strictement positif. Il s’agit d’établir une conjecture non triviale liant les deux droites d 1 et d 2 à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique puis de la prouver. Partie 1 : réaliser la figure avec GeoGebra – Créer un curseur a variant de 0 à 10 ; – Dans la fenêtre de saisie, créer le point O par la commande « O = (0, 0) ». – Procéder de la même manière pour créer les points A, C et D puis E, F et B. – Construire alors les deux carrés par l’icône Polygone en pointant les quatre sommets successivement. – Construire la droite d 1 par la commande « d 1 : Droite[C, F] » puis la droite d 2 de la même manière. −→ Appeler l’enseignant pour valider la construction. Partie 2 : établir une conjecture – Déplacer le curseur a pour renforcer vos observations. – Avec un clic droit sur le curseur, choisir Animer. – Trouver l’icône Relation entre deux objets puis sélectionner d 1 et d 2 . – Rédiger la conjecture. −→ Appeler l’enseignant pour valider la conjecture. Partie 3 : chercher une preuve Quelques repères pour engager cette démonstration : – Compléter la figure si nécessaire ; – Mobiliser des propriétés du carré ; – Penser aussi aux droites remarquables d’un triangle. −→ Appeler l’enseignant pour valider les étapes. Partie 4 : rédiger la démonstration à deux et la rendre mardi 14 septembre. Partie 5 : explorer plus avant la situation. −→ Appeler l’enseignant pour valider les conjectures.

Mr PIHOUE

Lycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

[ Éléments pour l’enseignant \ Partie 4  = 45°. De la même COAD est un carré, donc COA est un triangle rectangle isocèle en O d’où OCA  = 45°. Comme les points D, O et C sont manière, DOE est un triangle rectangle isocèle en D et DOE alignés, on en déduit que (CA) ∥ (OE). Les diagonales d’un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, d’où (DF) ⊥ (OE) dans le carré ODEF. Comme (CA) ∥ (OE) et (DF) ⊥ (OE) on en déduit que (CA) ⊥ (DF). Par ailleurs, on a aussi (FO) ⊥ (OD) puisque FODE est un carré. Ainsi, dans le triangle CFD, (FO) est la hauteur issue de F et (CA) est la hauteur issue de C puisque (CA) ⊥ (DF). Or A ∈ (FO) et donc A est l’orthocentre de CFD puisqu’il est le point d’intersection de deux hauteurs. On en conclut que (DA) est la troisième hauteur d’où d 2 = (DA) ⊥ (CF) = d 1 .

Mr PIHOUE

Lycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

[ TP n°2 : Équations de droites \ On a vu en cours qu’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées avait une équation y = mx + p dans un repère (O, I, J). Ce TP a pour objectif de parvenir à une interprétation graphique des nombres m et p. Partie 1 : avec le logiciel GeoGebra • Créer les curseurs m et p variant entre −5 et 5 avec un pas de 1. • Créer la droite d d’équation y = mx + p par la commande d:y=m*x+p. • Créer le point P(0; p) par la commande P=(0,p). Questions 1. Le nombre m étant fixe, faire varier p. Écrire les conjectures. 2. Le nombre p étant fixe, faire varier m, . Écrire les conjectures. −→ Appeler l’enseignant pour valider les conjectures. • Créer le point A(1; m + p) par la commande A=(1,m+p). • Créer le curseur t variant de −5 à 5 avec un pas de 1. • Créer le point B(t ; mt + p) par la commande B=(t,m*t+p). Questions 3. Faire varier t . Où sont situés les points A et B ? Le démontrer. yB − y A pour différentes valeurs de t . 4. Pour m et p fixés, calculer le quotient xB − x A Écrire la conjecture. −→ Appeler l’enseignant pour valider les preuves et la conjecture. Partie 2 : des exercices avec Wims. Avec le navigateur Firefox, aller à la page : http ://www.netvibes.com/dpihoue#Classes puis cliquer sur le lien WIMS : accueil 2nde 4. Le login est le même que celui du lycée mais écrit en majuscules et le mot de passe par défaut est

SD04. A changer lors de la première connexion.

Mr PIHOUE

Lycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

[ Éléments pour l’enseignant \

Mr PIHOUE

Lycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011

2nde 4

TP Maths-Informatique

[ TP n°3 : Introduction à l’algorithmique \ Au collège et même avant, vous avez déjà appliqué des algorithmes comme par exemple, pour calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels. 1. Calculer le PGCD de 8 136 et de 492. Ecrire une phrase décrivant cet algorithme. 2. Ecrire la série des instructions à exécuter pour calculer le PGCD de deux entiers naturels n et m quelconques. −→ Appeler l’enseignant pour valider le résultat. 3. Tester « à la main » l’algorithme « mystère » ci-dessous à gauche. Que fait-il ? algorithme « mystère » programme Xcas Variable boucle ( ) : = { S ,n : entiers naturels local S ,n;

Début

S:=1;

S ← 1

n:=1;

n ← 1 TantQue S < 1 000 000 Faire

n ← n +1

tantque S