Triangles

Triangles 1) Somme des angles d'un triangle Propriété: La somme des trois angles d'un triangle est égale à 180°. Démonstration

On considère un triangle ABC. Traçons la droite d parallèle à (BC) passant par A. Notons D et E des points de d comme sur la figure. Les angles  DAB et  ABC sont alternes-internes et comme les droites d et (BC) sont parallèles, ils ont la même mesure. De même pour les angles  EAC et  ACB .

 DAB BAC  EAC =  ABC  BAC  ACB= DAE =180° car c'est un angle plat. Exemple:

37° 48° Calculons l'angle  BAC    ABC  BCA BAC =180° 48 °37° BAC =180° 85° BAC =180°  BAC =180 ° – 85°=95°

Cas particuliers a) Les angle du triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a les 3 côtés de même mesure ainsi que les 3 angles. 180 Donc chaque angle mesure = 60° 3 b) Angles d'un triangle rectangle Propriété: Si un triangle est rectangle alors les angles aigus sont complémentaires (la somme = 90°) Démonstration:

ABC est un triangle rectangle en A donc  BAC =90 ° La somme des angles d'un triangle est égale à 180° 90 °  ABC  ACB=180 ° d'où  ABC   ACB=180 ° −90 °=90 ° Propriété réciproque: Si les angles aigus d'un triangle sont complémentaires (la somme = 90°)alors le triangle est rectangle. Démonstration admise Exemple: A 42° 48° C

B

Dans le triangle ABC on a  ABC   BAC =42 °48 °=90 ° Donc le triangle ABC est rectangle en C.

b) Angles d'un triangle isocèle Propriété Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure. Démonstration ABC est un triangle isocèle Nous savons qu'un triangle isocèle possède un axe de symétrie d Le symétrique de l'angle  CAB par rapport à d est l'angle  CBA or la symétrie axiale conserve la mesure des angles donc  CAB =  CBA

d

Exemple: Le triangle ABC est isocèle en C et  ACB=48 ° (voir figure ci-dessus) Calculons la mesure des deux autres angles. La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à 180° donc  CAB CBA  ACB=180 °  CAB CBA48 °=180 ° Le triangle étant isocèle, ses angles à la base ont la même mesure.  CAB =  CBA   CABCAB48° =180 ° 2× CAB48 ° =180 ° 2× CAB=180 °−48 °=132 ° 132°  CAB= =66° 2  CAB= CBA=66° Propriété réciproque Si un triangle a deux angles de même mesure alors le triangle est isocèle. Démonstration admise Exemple Dans, le triangle EFG on a :  EFG= FEG Ainsi, le triangle EFG est isocèle en G, GE=GF. 2) Inégalité triangulaire a) Propriété des longueurs des côtés d'un triangle Remarque: Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Propriété Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple: Dans le triangle ABC on a: AB