Triangles superposables

Index A

M

alternes-externes ........................... 23 alternes-internes............................ 23 angle au centre .............................. 35 angle inscrit................................... 35 angle tangentiel............................. 35 axe de symétrie ............................... 4

médiatrice ......................................24

B bissectrice ..................................... 25 C centre de symétrie ........................... 6 centre de symétrie. .......................... 6 cercle circonscrit........................... 24 cercle inscrit.................................. 25 cercles sécants............................... 27 cercles tangents............................. 27 coefficient de projection ............... 32 complémentaires ........................... 13 correspondants .............................. 23 cosinus .......................................... 30 D diagonale....................................... 16 distance ......................................... 21 droites parallèles ........................... 10 droites perpendiculaires................ 11 F figures à l'échelle ............................ 9 figures isométriques...................... 34 figures semblables ........................ 29 H hypoténuse .............................. 13, 28 I

O opposés par le sommet ..................23 P parallélogramme....................6, 8, 15 polygone ........................................16 polygone régulier...........................18 Pythagore.......................................28 Q quadrilatère....................................14 R relations métriques ........................31 rotation...............................11, 18, 19 rotation de 180° ...............................7 S sinus...............................................30 somme des angles..........................17 supplémentaires .............................15 symétrie centrale .............................7 symétrie orthogonale .......................5 T tangente .........................................30 tangente à un cercle .......................26 Thalès ............................................32 traces............................................7, 8 transformations du plan...................2 translation ........................................8 triangle équilatéral.........................12 triangle isocèle...............................12 triangle rectangle .....................13, 35 triangles superposables....................3

inégalité triangulaire ..................... 20

1

Synthèses descriptives pour le premier degré Transformations du plan 1.

Transformer Garder la forme AgrandirDiminuer

Déformer

Garder la grandeur Isométrie

Figures à l’échelle

Déplacer

Retourner Symétrie orthogonale

Glisser Translation

Tourner Rotation cas particulier : rotation de 180° ou symétrie centrale

2

Triangles superposables 1. Il existe deux types de triangles superposables :

2. Deux triangles superposables ont :

- des côtés homologues de même longueur - des angles homologues de même amplitude - même périmètre - même aire

On dit aussi qu’ils sont isométriques.

SF :

voir Figures isométriques

3

Figures ayant un axe de symétrie 1. En assemblant deux triangles isométriques par retournement j’obtiens une figure ayant un axe de symétrie.

Cas particuliers : Si les triangles sont

Je peux obtenir

rectangles

un triangle isocèle

isocèles

un losange

isocèles rectangles

un carré

équilatéraux

un losange

2. D’autres figures ayant des axes de symétrie :

4

Construction de l'image du point A par la symétrie orthogonale d'axe d

Construction de l'image du segment [AB] par la symétrie orthogonale d'axe d

Les points AA'B'B forment un trapèze isocèle.

Les points ABB'A' forment un rectangle.

Les points ABA' forment un triangle isocèle.

Les points ABB'A' forment un trapèze isocèle croisé.

5

Figures ayant un centre de symétrie 1. Cet hexagone formé de six triangles superposables par déplacement a un centre de symétrie.

2. Tout parallélogramme a un centre de symétrie, le point d’intersection de ses diagonales.

Cas particuliers : Tout rectangle, losange, carré a un centre de symétrie.

D’autres figures avec un centre de symétrie :

SF :

Comment justifier qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? (2)

6

Rotation de 180° ou Symétrie centrale Dans les débuts de pavage suivants, on détecte de nombreux parallélogrammes (2 côtés parallèles et de même longueur). Les diagonales de ces parallélogrammes se coupent en leur milieu. On fait donc apparaître un point O central dans chacune des deux figures suivantes.

La figure ABEFCD a un centre de symétrie.

I

Le quadrilatère HIJG est l'image du quadrilatère ABCD par la symétrie centrale de centre O. AJ, BG, CH et DI sont les traces.

Une droite AB et son image GJ par symétrie centrale sont parallèles.

Construction de l'image d'un point A par la symétrie de centre C C est le milieu de [AA’].

A,C et A’ sont alignés et |AC| = |CA’|.

SF :

Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)

7

Translation Le repérage de quatre parallélogrammes permet de faire apparaître quatre segments parallèles et de même longueur reliant les sommets du premier quadrilatère à ceux du second.

Ces segments sont les traces de la translation qui applique ABCD sur EHGF. Une droite et son image sont parallèles AB et EH, BC et HG, AC et EG, …

Construction de l'image d'un point C par la translation qui applique A sur B ABC’C est un parallélogramme.

CC’ // AB et |CC’| = |AB|

SF :

Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)

8

Figures à l’échelle 1. Le triangle A’B’C’ est la reproduction à l’échelle ½ du triangle ABC.

2. Si on double une seule dimension d’une figure, son aire double. Figure de départ

Figures après doublement d’une dimension

Si on double les deux dimensions d’une figure son aire quadruple.

Si on triple les dimensions d’une figure son aire devient neuf fois plus grande.

SF :

Comment comparer des aires ? (14)

9

Droites parallèles 1. Les droites a et b sont parallèles. On note a // b.

2. Une droite et son image par une rotation de 180° (d’un demi-tour) sont parallèles.

3. Une droite et son image par translation sont parallèles.

SF :

Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)

10

Droites perpendiculaires 1. Les droites a et b sont perpendiculaires. On note a ⊥ b.

2. Une droite et son image par une rotation de 90° (d’un quart de tour) sont perpendiculaires.

SF :

Comment justifier que des droites sont perpendiculaires ? (9)

11

Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a :

deux côtés de même longueur, deux angles de même amplitude.

[BC] est appelé base principale et  angle au sommet. Le triangle isocèle est formé de deux triangles rectangles superposables par retournement.

Le triangle isocèle a un axe de symétrie qui : • passe par A et H milieu de [BC] (médiane de la base principale), • passe par A et est perpendiculaire à [BC] (hauteur par rapport à la base principale), • est perpendiculaire à [BC] en son milieu H (médiatrice de la base principale), • coupe l’angle  en deux parties égales (bissectrice de l’angle au sommet). Cas particulier : Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a :

SF :

3 côtés isométriques, 3 angles de même amplitude (60°).

Comment justifier qu’un triangle est isocèle ? (6) Comment justifier qu’un triangle est équilatéral ? (6) Comment comparer des amplitudes ? (15) Comment comparer les longueurs ? (13)

12

Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté BC est l’hypoténuse de ce triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 90°. On dit qu’ils sont complémentaires.

Cas particulier : triangle rectangle isocèle.

Dans un triangle rectangle isocèle les deux angles aigus ont même amplitude. Ils valent chacun 45°.

SF :

Comment calculer des amplitudes ? (18)

13

Quadrilatères On rencontre trois types de quadrilatères :

Dans la suite, lorsque nous parlons de quadrilatères, nous sous-entendons des quadrilatères non croisés.

On peut partager un quadrilatère en deux triangles en traçant une diagonale.

14

Parallélogramme

Le parallélogramme possède les propriétés suivantes : * deux paires de côtés parallèles

AB // DC et AD // BC

* les côtés opposés de même longueur

|AB| = |DC| et |AD| = |BC|

* les diagonales ont le même milieu * les médianes - sont parallèles aux côtés - ont la même longueur que les côtés - ont le même milieu que les diagonales * il a un centre de symétrie M * les angles opposés sont égaux

ˆ =C ˆ et B ˆ =D ˆ A

ˆ +B ˆ +D ˆ =C ˆ +D ˆ =A ˆ =B ˆ +C ˆ = 180° * les angles adjacents sont supplémentaires A Parallélogrammes particuliers : les rectangles, les losanges et les carrés

SF :

Comment justifier qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? (2) Comment comparer des amplitudes ? (15) Comment comparer les longueurs ? (13)

15

Polygones Nombre de côtés 3

Nom triangle

4

quadrilatère

5 6 7 8 9 10 11 12 …. n

pentagone hexagone heptagone octogone ennéagone décagone hendécagone dodécagone

Cas particuliers triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle trapèze parallélogramme cerf-volant rectangle losange carré pentagone régulier hexagone régulier heptagone régulier octogone régulier ennéagone régulier décagone régulier hendécagone régulier dodécagone régulier

polygone à n côtés

polygone régulier à n côtés

[AB], [BC], [CD], [DE] et [AE] sont les côtés.

[AC], [AD], [BE], [BD] et [EC] sont les diagonales.

Les 5 points déterminent 10 segments.

16

Somme des angles d’un polygone

La somme des angles d’un rectangle vaut 4 × 90°=360°.

La somme des angles d’un triangle rectangle vaut 360° : 2 = 180°. Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 90°. o + x = 90°

Tout triangle peut être décomposé en deux triangles rectangles par une de ses hauteurs. La somme des angles d’un triangle quelconque vaut 90°+90° = 180°.

Tout quadrilatère peut se décomposer en deux triangles par une de ses diagonales. La somme des angles (intérieurs) d’un quadrilatère vaut 180°+180° = 360°.

Tout polygone à n côtés peut se décomposer en (n-2) triangles. La somme des angles (intérieurs) d’un polygone à n côtés vaut (n-2)×180°=360°.

SF :

Comment calculer des amplitudes ? (18)

17

Polygones réguliers Type de triangles isocèles

Polygone formé

Polygone invariant pour …

Angle au sommet vaut 120°

Triangle équilatéral

Rotations de 120°, de 240° et de 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux médianes

Angle au sommet vaut 90°

Carré

Rotations de 90°, 180°, 270° et 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux médianes et aux diagonales Symétrie centrale de centre O

Angle au sommet vaut 72°

Pentagone régulier

Rotations de 72°, 144°, 216°, 288° et 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux droites qui joignent les sommets du pentagone aux milieux des côtés opposés

18

Angle au sommet vaut 60°

Hexagone régulier

Rotations de 60°, 120°, 180°, 240°, 300° et 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux diagonales qui joignent les sommets opposés et par rapport aux médianes des côtés opposés Symétrie centrale de centre O

Angle au sommet vaut 360/7° Heptagone régulier

Rotations de 360/7°; 720/7°, 1080/7°, 1440/7°, 1800/7°, 2160/7°, 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux droites qui joignent les sommets de l'heptagone aux milieux des côtés opposés

Angle au sommet vaut 45°

Rotations de 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°; 315° et 360° de centre O Symétries orthogonales par rapport aux diagonales qui joignent les sommets opposés et par rapport aux médianes des côtés opposés Symétrie centrale de centre O

Octogone régulier

19

Inégalité triangulaire Dans un triangle ABC, chaque côté est inférieur au demi-périmètre de ce triangle.

AB < AC < BC <

AB + AC + BC 2 AB + AC + BC 2 AB + AC + BC 2

Dans un triangle ABC, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres. AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AC + AB

Le point C étant un point du segment [AB] : |AC| + |CB| = |AB|

SF :

Comment comparer les longueurs ? (13) Comment justifier que trois points sont alignés ? (12)

20

Distances • Distance entre 2 points Soient deux points A et B. . A

. B

La longueur du segment [AB] vaut 2cm. On dit que la distance de A à B vaut 2 si l'unité choisie est le cm. On écrit AB = 2.

• Distance d'un point à une droite Soient A un point et d une droite, la distance de A à d est la distance de A au pied de la perpendiculaire abaissée de A sur d.

Ad = AA'

Cas particulier : hauteurs d'un triangle

21

• Distance entre deux droites parallèles (largeur d'une bande)

dd' = AA' = BB' = 4 Cas particuliers : hauteur d'un trapèze

hauteur d'un parallélogramme

SF :

Comment calculer des aires ? (17)

22

Angles Dans la configuration ci-contre, les angles: ˆ 1 et A ˆ 3, A ˆ 2 et A ˆ 4, B ˆ 1 et B ˆ 3, B ˆ 2 et B ˆ4 A sont opposés par le sommet, ˆ 1 et B ˆ 2 et B ˆ 3 et B ˆ 4 et B ˆ 1, A ˆ 2, A ˆ 3, A ˆ4 A sont correspondants, ˆ 2 et B ˆ 3 et B ˆ 4, A ˆ 1 sont alternes-internes, A ˆ 1 et B ˆ 4 et B ˆ 3, A ˆ 2 sont alternes-externes. A

Remarque : les angles opposés par le sommet sont toujours égaux. Cas particulier : a//b

On observe dans ce cas une série d'égalités d'angles dues : ˆ1 = B ˆ2 = B ˆ3 = B ˆ4 = B ˆ 1, A ˆ 2, A ˆ 3 et A ˆ4 soit à la translation tAB : A ˆ1 = B ˆ2 = B ˆ3 = B ˆ4 = B ˆ 3, A ˆ 4, A ˆ 1 et A ˆ2. soit à la symétrie centrale de centre O (milieu de [AB]): A

SF :

Comment comparer les amplitudes ? (15) Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)

23

Médiatrice

La médiatrice du segment [AB] est l'ensemble des points équidistants des extrémités A et B de ce segment.

Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets du triangle).

SF :

Comment justifier que des droites sont concourantes ? (11) Comment comparer des longueurs ? (13)

24

Bissectrice

La bissectrice de l'angle Ô est l'ensemble des points situés à égale distance des deux côtés de l'angle. Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit à ce triangle (cercle tangent aux trois côtés du triangle).

SF :

Comment justifier que des droites sont concourantes ? (11) Comment comparer des longueurs ? (13)

25

Positions relatives d'une droite et d'un cercle Soient un cercle C de rayon r, une droite d et |Od| la distance du centre à la droite. 1er cas : la droite est extérieure au cercle,

|Od| > r 2ème cas : la droite est tangente au cercle,

|Od| = r 3ème cas : la droite est sécante au cercle.

|Od| < r Dans tous les cas, la droite OX est axe de symétrie de la figure.

26

Positions relatives de deux cercles Soient deux cercles C et C' dont r et r' sont les rayons respectifs (r > r'). 1er cas : les deux cercles sont disjoints,

|OO'|> r + r'

|OO'| < r - r'

2ème cas : les deux cercles sont tangents,

|OO'| = r + r'

|OO'|= r - r'

3ème cas : les deux cercles sont sécants.

r - r' < |OO'| < r + r' Dans tous les cas, la droite comprenant les centres O et O’ est axe de symétrie de la figure.

27

Synthèses descriptives pour la troisième Pythagore

1. ABC est un triangle rectangle en B. 2. L’aire du carré construit sur l’hypoténuse c3 est égale à la somme des aires des carrés c1 et c2.

3. si |AB| = r, |BC| = s et |AC| = t alors

r² + s² = t²

mais aussi, si on construit d’autres figures que des carrés : k r² + k s² = k t²

1 8

k = π pour des demi-cercles et k = SF :

1 3 pour des triangles équilatéraux 4

Comment calculer des longueurs ? (16) Comment justifier que des droites sont perpendiculaires ? (9) Comment calculer des amplitudes ? (18)

28

Figures semblables Deux polygones semblables :

Les côtés homologues sont proportionnels : |XY| = k × |AB| |YZ| = k × |BC| |ZT| = k × |CD| |XT| = k × |AD| Aire XYZT = k² × aire ABCD Les angles homologues sont égaux : ˆ =X ˆ A ˆ =Y ˆ B ˆ = Zˆ C ˆ = Tˆ D Cas particulier des triangles semblables : SF :

Comment justifier que des triangles sont semblables ? (20)

Cas de similitudes

Comment comparer des amplitudes ? (15) Comment calculer des longueurs ? (16) Comment comparer les longueurs ? (13) Comment comparer des aires ? (14)

29

Trigonométrie

ˆ = | AC | cos Cˆ = sin B | BC | ˆ = | AB | ˆ = sin C cos B | BC | | AB | tg Cˆ = | AC | ˆ = | AC | tg B | AC |

ˆ + cos² A ˆ =1 Relation fondamentale : sin² A Valeurs particulières : Angle

Sinus

Cosinus

Tangente

30°

0,5

3 2

3 3

2 2

1

45° 60°

SF :

2 2 3 2

0,5

3

Comment calculer des amplitudes ? (18) Comment calculer des longueurs ? (16)

30

Constructions d’irrationnels Relations métriques dans un triangle rectangle :

BC|² = |AB|² + |AC|² |AD|² = |BD| |DC| |AB|² = |BD| |BC| |AC|² = |CD| |BC| En se basant sur ces relations on peut construire des irrationnels. Voici quelques exemples pour 20

31

Thalès « Machine » à multiplier les longueurs :

XY // BC |AX| × r = |AB| |AY| × r = |AC| |XY| × r = |BC| |AX| × k = |AY| |XB| × k = |YC| |AB| × k = |AC|

r est la valeur absolue de l’abscisse de B dans le repère (A, X)

k est le coefficient de projection de AB sur AC

XY // AB // DC |AX| × k = |BY| |XD| × k = |YC| |AD| × k = |BC| k est le coefficient de projection de AD sur BC

« Machine » à fabriquer des égalités de rapports :

XY // AB // DC | AX | | XD | | AD | = = | BY | | YC | | BC |

32

XY // BC | AX | | XB | | AB | = = | AY | | YC | | AC |

Cas particulier des milieux :

M est le milieu de [AB] N est le milieu de [AC] MN // AB |MN| = ½ |BC|

MN // AB // DC M est le milieu de [AD] N est le milieu de [BC] |MN| = ½ ( |AB| + |DC| )

SF :

Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10) Comment calculer des longueurs ? (16)

33

Figures isométriques Deux polygones isométriques :

Les côtés homologues sont de même longueur : |XY| = |AB| |YZ| = |BC| |ZT| = |CD| |XT| = |AD| Aire ABCD = aire XYZT Les angles homologues sont égaux : ˆ =X ˆ A ˆ =Y ˆ B ˆ = Zˆ C ˆ = Tˆ D Cas particulier des triangles isométriques : SF :

Comment justifier que des triangles sont isométriques ? (19)

Cas d’isométries

Comment comparer des amplitudes ? (15) Comment comparer les longueurs ? (13) Comment comparer des aires ? (14)

34

Angles 1. Angles et cercle

L’angle au centre Ô interceptant l’arc BC est le double de l’angle inscrit  interceptant le même arc.

ˆ interceptant l’arc BC est égal L’angle tangentiel B à l’angle inscrit  interceptant le même arc.

[BC] est un diamètre. Â = 90° ABC est un triangle rectangle ; il est inscrit dans un demi-cercle.

2. Angles à côtés parallèles

3. Angles à côtés perpendiculaires

ˆ =B ˆ +B ˆ 1 et A ˆ 2 = 180° A SF :

Comment comparer des amplitudes ? (15)

35