Trigonométrie

1S1

Devoir Surveillé N°5 – Trigonométrie

le 13/02/2012

Dans tout le devoir, l’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. L’usage d’un brouillon est fortement recommandé. 1 Mesure principale (3 points) Soit 𝑑1 , 𝑑2 et 𝑑3 trois droites de vecteur directeur respectif 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ tels que : (𝑢 ⃗ , 𝑣) =

42𝜋 , 4

(𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = −

et

75𝜋 . 2

1. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés : a. (𝑢 ⃗ , 𝑣) =

42𝜋 4

b. (𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = −

75𝜋 2

c. (𝑤 ⃗⃗ , 𝑡) =

434𝜋 5

2. Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑2 ? Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑3 ? 3. Donner une mesure (principale ou non) de chacun des angles orientés suivants : a. (3𝑢 ⃗ , −2𝑣 ) b. (−2𝑢 ⃗ , 𝑣) c. (−𝑣 , −𝑢 ⃗)

2 Résolution d’équations trigonométriques (4 points) 1. Placer sur un cercle trigonométrique les points associés aux solutions de l’équation :

3𝜋 ) 4 5𝜋 sin(𝑥) = sin ( 6 )

cos(𝑥) = cos (− 2. Résoudre dans ℝ l’équation :

2 sin(𝑥) + 1 = 0

3. Déterminer les solutions de l’équation 4. Résoudre dans ]−𝜋; 𝜋] l’équation cos (𝑥

𝜋 − 3)

=

√2 2

dans [0; 2𝜋[ puis dans ]−𝜋; 𝜋].

.

3 Angles associés (4 points) 1. Simplifier les expressions suivantes, où 𝑥 désigne un réel quelconque : π 𝐴 = sin(𝜋 + 𝑥) + 2 × cos ( − 𝑥) + cos(𝜋 − 𝑥) + sin(−𝑥) 2 𝜋 𝜋 𝐵 = sin (𝑥 − ) − cos(𝑥 + 𝜋) + cos (𝑥 − ) − sin(𝑥 − 𝜋) 2 2 2. Démontrer que : 3𝜋 5𝜋 11𝜋 13𝜋 sin ( ) + sin ( ) + sin ( ) + sin ( )=0 8 8 8 8

4 Alignements de points (5 points) 𝜋

⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit − . ABCD est un carré tel qu’une mesure de (𝐴𝐵 2 On construit à l’intérieur du carré un triangle équilatéral CDE tel 𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ qu’une mesure de (𝐷𝐶 𝐷𝐸 ) soit . 3 On construit à l’extérieur du carré un triangle équilatéral BCF tel 𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ qu’une mesure de (𝐵𝐶 𝐵𝐹 ) soit 3 .

1. Déterminer en justifiant brièvement une mesure de chacun des angles suivants : ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ a. (𝐸𝐶 b. (𝐸𝐹 c. (𝐸𝐷 𝐸𝐴) 2. Démontrer que les points A, E et F sont alignés.

5 Lignes trigonométriques (4 points) 𝜋

√6+√2 4 𝜋 que sin (12)

On donne cos (12) = 1. Démontrer

=

√6−√2 4

2

(On pourra d’abord développer (√6 − √2) )

2. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de : a.

5𝜋 12

b.

11𝜋 12

c.

7𝜋 12

1 Mesure principale (4 points) Soit 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 et 𝑑4 quatre droites de vecteur directeur respectif 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ et 𝑡 tels que : (𝑢 ⃗ , 𝑣) =

42𝜋 , 4

(𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = −

75𝜋 2

et

⃗⃗ , 𝑡) = (𝑤

434𝜋 . 5

4. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés : d. (𝑢 ⃗ , 𝑣) =

42𝜋 4

e. (𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = −

75𝜋 2

5. Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑2 ? Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑3 ? 6. Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants : a. (3𝑢 ⃗ , −2𝑣 ) b. (−2𝑢 ⃗ , 𝑣)

⃗⃗ , 𝑡) = (𝑤

f.

c. (−𝑣 , −𝑢 ⃗)

4 Alignements de points (3 points) Sur la figure ci dessous, on sait que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐸 sont colinéaires.

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ Déterminer une mesure de l’angle (𝐷𝐶 𝐷𝐸 ) en indiquant votre démarche.

5 Lignes trigonométriques (2 points) 𝜋

On donne cos (12) =

√6+√2 4 𝜋

3. Démontrer que sin (12) =

√6−√2 4

4. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de : d.

5𝜋 12

e.

7𝜋 12

434𝜋 5

f.

11𝜋 12