trigonométrie et ptolémée

TRIGONOMÉTRIE ET PTOLÉMÉE Trigonométrie : formules fondamentales Ptolémée : son théorème Valeurs exactes : base d'une table Robert Lacroix Séminaire Salésien, Sherbrooke rlacroix @microtec.ca

Introduction Parler de nos jours de table de trigonométrie est anachronique. Les étudiants imaginent difficilement comment les mathématiciens des siècles passés ont déterminé les valeurs des fonctions trigonométriques pour divers angles. Pas d'électricité, partant pas de calculatrice, comment faire pour évaluer sin 37,5° à 7 •\I3 chiffres après la virgule ? On sait que sin 60° = — , y a-t-il beaucoup d'angles dont le sinus se calcule exactement ? Que vaut sin 1° ? Développée par Euclide, Archimède et Appolonius, la géométrie s'impose comme modèle de rigueur intellectuelle et de logique pour les générations futures de mathématiciens. Au deuxième siècle après Jésus-Christ, le besoin intense de créer un modèle cohérent de l'univers se fait sentir chez les intellectuels grecs et romains. Formé à la discipline intellectuelle de la géométrie, Ptolémée s'impose la tâche de créer ce modèle de l'univers et le chef-d'oeuvre d'astronomie, VAlmagest, est le fruit de ses réflexions. Afin de calculer des rapports de distances et décrire les mouvements des objets célestes, Ptolémée avait besoin de rapports trigonométriques précis, d'où s'imposait la création d'une table de trigonométrie. Mais par où commencer cette table ? Comment relier les sinus des angles entre eux ? C'est Ptolémée qui découvrit le théorème qui permet de trouver les relations nécessaires à la construction d'une table. En termes modernes, c'est la formule de sin(x ± y). Plusieurs routes mènent à Rome nous dit un adage populaire. Ainsi, pour le bénéfice du lecteur je lui offre une deuxième façon de trouver sin(J: ± y) et COS(A: ± >»). Cette fois je trouve les liens qu'il y a entre les coordonnées d'un point par rapport à différents systèmes de coordonnées qui sont obtenus l'un de l'autre par une rotation. Dès que nous avons trouvé les valeurs exactes du sinus et du cosinus d'un angle (par exemple 36°)', nous montrons une figure géométrique qui permet de calculer exactement le sinus et le cosinus de la moitié de l'angle ( 18° ). Par cela, nous aurons notre première relation fondamentale entre les sinus de divers angles.Pourquoi des noms tels tangente, cotangente, sécante et cosécante ? Il y a quelques années, j'expliquais à un étudiant un problème relatif à une tangente à un cercle. Quelle ne fut pas ma surprise de constater que le terme tangente était empreint d'ambiguïté pour lui : il reliait ce terme à la tangente trigonométrique. Momentanément, pour lui, c'était la même chose. Ce phénomène, même rare, ne me surprend pas. N'arrive-t-il pas de temps à autre de se faire demander dans un cours d'introduction à la trigonométrie où est situé le sinus dans le triangle rectangle ? Cette question soulevée a été pour moi une belle occasion de réfléchir à ces notions en trigonométrie. Quelques heures plus tard, je traçais une figure contenant les 6 rapports trigonométriques. En page 375 du tome 2, le livre Mathématique soleil 5 offre une figure qui donne les segments qui représentent chacune des six fonctions trigonométriques. Le lecteur peut apprécier la différence entre ma figure et celle de ce livre.

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Tangente, cotangente, sécante et cosécante : des appellations « naturelles » L'histoire des mathématiques ne nous dit pas comment ont été choisis les noms des fonctions trigonométriques comme tangente, cotangente, sécante et cosécante. La figure 1 ci-dessous^nous fait apparaître ces quatre (4) rapports trigonométriques. Soit P(x,}'), un point du cercle ayant une unité de rayon et centré à l'origine d'un plan cartésien. Par le point P, traçons le segment tangent au cercle oià le point A est situé sur l'axe des Y et le point B est situé sur l'axe des X. Soit 0, l'angle que fait par le rayon OP avec l'axe des X. La figure présente de nombreux triangles semblables entre eux. Une proportion évidente mBP V ^. . , , j J e s t — — = —. Ainsi, la longueur de BP est —. mOP X X On sait que la hauteur OP relative à l'hypoténuse du triangle AOB est moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments BP et AP : (mÔP)^ = mÂP • mBP => 1 = mÂP • mBP et T75 1 mAP = mBP

^ y Figure 1

Sachant que

+ / = 1 et en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles OPB et OPA, on

trouve aisément — pour la longueur de OB et — pour la longueur de OA. Raisonnement avec les r a p p o r t s de similitudes uniquement C'est une belle occasion d'appuyer notre raisonnement sur la notion de rapport de similitude : Le rapport de similitude entre les AOBP et AOPH est = —. Ainsi, ^^ mOH X l

mOB = - • mOP = 1X • 1 = i . et mBP = - • X

l

m PX H =

Le rapport de simg°itude entre les AOPA et ABPO est = —. Ainsi, ^^ ^ mBP y X 1

1

mPA = - mOP = - • ! = - e t mOA = - mBO = - - = y )' >' 3' y X y y X 1 Dans une seule et même figure, nous avons fait apparaître les rapports —, —, et - . La figure nous

^

}'

y

montre que BP est un segment tangent au cercle ainsi que le segment AP, il est tout à fait naturel alors de définir le rapport Z par tangente de l'angle 0 et le rapport — par cotangente de l'angle 0. Comme l'axe des X X y E N V O L , NO 103 - AVRIL-MAI-JUIN 98

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coupe le cercle et que OB est un segment de cet axe, on définit tout aussi naturellement le rapport - comme X

étant la sécante de l'angle 0. Une observation analogue amène à nommer le rapport — cosécante de l'angle 0. y

Dans ce qui suit, nous présentons des figures riches en informations qui permettent d'exprimer les 0

fonctions de - ou de 20 en fonction de 0. 2 0 0 0 Fonction du demi-angle : sin - , cos - et tan - . 2

La figure ci-contre représente un triangle rectangle ABC dans lequel 0 est la mesure de l'angle A. De plus nous avons prolongé le côté CA d'une longueur mAD égale à celle de l'hypoténuse. Puisque le triangle BAD est isocèle dors il est

2

2

D

+

+ cf

=

+ 2bc

0

évident que la mesure de l'angle D est —.

6 A l'aide de cette figure nous sommes en mesure d'exprimer les fonctions trigonométrique de — en fonction de sin0 et cos0. ,

La fonction =>

0

tan —

.

0

2

2

Dans le triangle BCD => On divise le numérateur et le dénominateur par c =>

a b +c a c b c c c

-

+

-

0

cos-

sm—

2

a

b+c

-Jlc^ + 2bc a c -Jlc^ + lbc c

(b + c) c c

a c

b c 2c' V C -

Ibc

s i n 0 = — e t COS0 = —

c

36

=>

c

sin0

sin0

1 + COS0

COS0-I-1

V2-I-2COS0

V2-I-2COS0

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c c 2bc c

+

-

_

H-COS0 V

2

Fonction du double d'un angle : sin 29, cos 26 Considérons le triangle APB inscrit dans le demicercle de centre O et rayon unité. Du point P, traçons la perpendiculaire PH au diamètre AB. . mPH sm20 = = mPH mOP _ mPH mBP mPH = • mBA = 2sin6cos6 mBP mBA sin2e = 2sinecos0 cos2e = ^

= mÔH

mOP mOH = mOA - m ^ = 1 - mAH mAH mAP mAH = • mAB = 2sin6sin0 mAP mAB cos20 = l - 2 s i n ^ e

Théorème de Ptolémée Ptolémée est connu pour sa création du modèle géocentrique de l'univers. Pour développer son modèle, Ptolémée dut prendre un appui solide sur la géométrie et asseoir son astronomie sur la trigonométrie sphérique. Le théorème que nous présenterons est à la base de la création d'une table de trigonométrie par Ptolémée lui-même. Voici ce théorème suivi de la preuve fournie par Ptolémée.

Dans un quadrilatère inscriptible la somme des produits des longueurs des côtés opposés est égale au produit des longueurs des diagonales. mBD m AC = mDA • mBC H- mDC • mAB

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Preuve

Considérons le quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O. Supposons que l'angle ACD est plus petit que l'angle BCA. Traçons le segment CI tel que l'angle BCI soit congruent à r angle DCA. Le point I étant sur la diagonale BD. Le triangle BIC est semblable au triangle ADC*, et les triangles DIC et ABC sont aussi semblables. ' ZD AC = ZDBC car il interceptent un même arc. ABIC ~ AADC

ADIC ~ AABC

mBI mBC

mDÏ mDC

mDA mAC

mDA mBC 1) mBI = . = — mAC

mÂB mAC

2)

mAC

En additionnant membres à membres les équations 1) et 2) on obtient ^ ^ mDA-mBC mDC mAB mBI + mDI = mBD = + mAC mAC donc : mBD • mAC = mDA • mBC + mDC • mAB CONSTRUCTION D'UNE TABLE DE

TRIGONOMÉTRIE

La construction d'une table de trigonométrie requiert initialement la connaissance des valeurs des fonctions trigonométriques de certains angles. Les fonctions trigonométriques d'autres angles sont obtenues à partir de fonctions des sommes, des différences, des demi-sommes et des demi-différences de ces angles. Commençons par trouver sin (;c + y).

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sin(A: + y) = sin jc cos j + cos x sin y Preuve Considérons le quadrilatère ADCB dans lequel AB est un diamètre. Remarquons que le triangle ÀCB est rectangle en C et que le triangle ADB est rectangle en D. Par le théorème de Ptoléniée, nous avons: mCD • mAB = mBD • mAC + mAD • mBC. Si on divise chaque membre par (mAB)^ , on obtient: mCD mAB _ mBD mAC mAD mBC mÂB ' mÂB mÂB " mÂB mÂB ' mAB mCD = sin X cos y + cos x sin y mAB Interprétons la fraction

mCD . Traçons lé diamètre DE et relions les points C et E. Le triangle mAB

DCE est rectangle en C et l'angle DAC mesure x + y . Ainsi, nous avons:

= mAB

D'où sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y .

= sin(jc + }'). mDE

C.Q.F.D.

sin(ac - y) = sin x cos y - cos x sin y Preuve Considérons le quadrilatère ADCB dans lequel AB est un diamètre. Remarquons que le triangle ACB est rectangle en C et que le triangle ADB est rectangle en D. Par le théorème de Ptolémée, nous avons: mCD • mAB + mAD • mBC = mBD • mAC mCD • mAB = mBD • mAC - mAD mBC Si on divise chaque membre par (mAB) , on obtient: mCD mAB mBD mAC mAD mCD mAB mAB mAB mAB mAB mAB mCD = sm x cos y - cos x sm y mAB

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Interprétons la fraction

mCD

. Traçons le diamètre DE et relions les points C et E. Le triangle

mAB DCE est rectangle en C et l'angle DAC mesure x-y . Ainsi, nous avons : D'où sin(j:-}') = sinxcos>'-cosxsin}'

mCD rnCD — = — = sin(x - y). mAB mDE

C.Q.F.D.

Trigonométrie et rotation Considérons un point P sur cette feuille. Pour repérer ce point sur la feuille nous pouvons placer l'origine du système d'axes n'importe où sur cette feuille. De plus, après avoir choisi le point servant d'origine, on peut donner n'importe quelle orientation au système. Le problème est de trouver le lien qui existe entre les coordonnées d'un point trouvées dans des systèmes de coordonnées différents. La figure à droite illustre cette situation. Un point P est repéré dans deux systèmes d'axes (XOY et X'OY'). Exprimons (x', y') en fonction de {x, y) x' = m Ô Â = mÔff + m H ' A = ysinG + xcosO y = mÔF = mHÏf = mBÏf - mBÎÏ = >'cose- xsinG

j;'= xcos9 + )'sin6 1)

y = - x s i n 9 + }'cos0

Nous pouvons composer des rotations des systèmes d'axes. Voyons comment. Autour de l'origine, si on fait subir au système XOY une rotation d'un angle 0, on obtient le système X'OY' et en faisant subir à ce dernier une rotation d'un angle on obtient le système X"OY" et par une rotation d'un angle 0, + 0^ du système XOY on obtient le système X"OY"

x'=

XCOS0,+}'sin0,

y = - j : s i n 0 , -l-}'cos0, x" = x'cos 02 + y sin 02 ^ ^ y = -A;'sin02 + y c o s 0 2

En combinant les équations 2) et 3) ci-dessus on trouve le lien entre les coordonnées (x", y") du point P dans le système X "OY" et les coordonnées {x, y) du même point P dans le système XOY : x" = (xcos0, -I-}'sin0,)cos02+(-xsin0, + )'cos0,)sin02 y ' = -(j:cos0, -i-ysin0,)sin02+(-xsin0, + 3'cos0,)cos02 x' ' = x(cos 0, cos 02 - sin 0, sin 02 ) -i- >'(sin 0, cos 02 + cos 0, sin 02 ) 5) y ' = - x ( s i n 0, c o s 02 + c o s 0, sin 02 ) -I- >'(cos 0, c o s 02 - sin 0, sin ©j )

40

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En appliquant la loi 1) pour relier (x", y") avec (x,}') :

6)

x" = X cos(e, + 02 ) + y sin(6, + 02 ) y ' = -xsin(e,+82)+}/cos(e, + q^) Des équations 5) et 6) on obtient les identités suivantes sin(9, + 62) = sin 9, cos 62 + cos0, sinOcos(0, + 02 ) = cos 0, cos 02 - sin 0, sin 0

Synthèse des formules

0 sin0 tan— = 2 COS0 + 1

. 0 2

sin20 = 2sin0cos0

sin0

1 + COS0 0 cos— = , 2 V 2

V 2 + 2COS0

COS20 = 1 - 2sin^ 0 = 2cos^ 0 - 1 = cos^ 0 - sin^ 0

sin(0, ± 02) = sin 0, cos02 ± c o s 0 , sin 02

cos(0, ± 02 ) = cos 0, cos 02 + sin 0, sin 02

Création d'une table Angles de bases : 30°, 36°, 45° angle 30° 36°

45°

sin (angle)

cos (angle)

1

V3

2

2

4

I + V5 4

V2

V2

2

2

VIO-2-N/5

De ce tableau, on peut monter petit à petit une table de trigonométrie. Voici un début.

ENVOL

NO

103

-

AVRIL.-MAI-JUIN

98

41

angle

sin (angle)

6°

^6(5-V5)-V5-l

V3+VÎ5+.^2(5-^5)

8

8

36° - 30°

9°

CCS (angle)

V2+VÏÔ-2V5-A/5

45° - 36°

8

V2+VÏÔ + 2 V 5 - V 5 8

15°

V6-V2

V6+V2

45° - 30°

4

4

7,5°

V6-V2

15°

2.^2(4 + V 6 + V 2 )

4 + V6+V2 i

8

2 Une table construite par un étudiant avec un tableur angle 45 22,5 11,25 5,625 2,8125 1,40625 0,703125 0,351563 0,175781 0,087891 angle 54 27 13,5 6,75 3,375 1,6875 0,84675

sin 0,707107 0,382683 0,19509 0,098017 0,049068 0,024541 0,012272 0,006136 0,003068 0,001534 sin 0,809017 0,45399 0,233445 0,117537 0,058871 0,029448 0,014726

cos

angle

0,707107 0,92388 0,980785 0,995185 0,998795 0,999699 0,999925 0,999981 0,999995 0,999999 cos

30 15 7,5 3,75 1,875 0,9375 0,46875 0,234375 0,117188 0,058594 angle

0,587785 0,891007 0,97237 0,993068 0,998266 0,999566 0,999892

81 40,5 20,25 10,125 5,0625 2,53125 1,265625

sin 0,5 0,258819 0,130526 0,065403 0,032719 0,016362 0,008181 0,004091 0,002045 0,001023 sin 0,987688 0,649448 0,346117 0,175796 0,088242 0,044164 0,022088

cos 0,866025 0,965926 0,991445 0,997859 0,999465 0,999866 0,999967 0,999992 0,999998 0,999999 cos 0,156434 0,760406 0,938191 0,984427 0,996099 0,999024 0,999756

angle 36 18 9 4,5 2,25 1,125 0,5625 0,28125 0,140625 0,070313 angle 75 37,5 18,75 9,375 4,6875 2,34375 1,171875

sin 0,587785 0,309017 0,156434 0,078459 0,03926 0,019634 0,009817 0,004909 0,002454 0,001227 sin 0,965926 0,608761 0,321439 0,162895 0,081721 0,040895 0,020452

cos 0,809017 0,951057 0,987688 0,996917 0,999229 0,999807 0,999952 0,999988 0,999997 0,999999 cos 0,258819 0,793353 0,94693 0,986643 0,996655 0,999163 0,999791

V

A partir du tableau de valeurs exactes précédent, on démarre la table avec les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 36° et 45°. L'étudiant applique les formules des fonctions pour les demi-angles et trouve les approximations pour les fonctions des angles de 15°, 18°, 22,5°, etc... 18°

L'étudiant vérifie les formules pour 9° : 9° = 45° - 36° = — et compare les résultats avec les valeurs calculées avec les radicaux. Il peut se construire une colonne avec 81° = 45° + 36° = 90° - 9° et une colonne de valeurs avec 75° = 45° + 30° = 90 - 15°. Il peut en démarrer une autre avec 24° = 9° + 15° etc...

42

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Il y a une multitude de combinaisons qu'un étudiant peut essayer. L'éudiant comprendra aisément par ce travail l'ampleur de la tâche que les mathématiciens des siècles, voire des millénaires passés, ont eu à accomplir. L'étudiant, (voire plusieurs étudiants), dit « oui, oui j'ai compris » et croit par une telle affirmation éviter l'effort nécessaire pour continuer. Je lui dis : « bravo, je suis content que tu aies compris, maintenant fais-moi petite table ! ». Construire une table est un beau projet d'équipe. Il nécessite une planification et un partage des tâches. Il faut apprendre comment échanger efficacement des données calculées sur des ordinateurs différents. Les étudiants moins familiers avec l'utilisation de logiciels outils doivent s'associer avec ceux qui ont déjà eu des cours sur ces logiciels et développer le désir d'apprendre à utiliser un tableur. Bien sûr, à la fin du projet, chaque membre d'une équipe doit être capable d'expliquer clairement la procédure suivie et détailler sa présentation à l'aide d'exemples. Conclusion Remarquons immédiatement que le théorème de Pythagore est un corollaire du théorème de Ptolémée. En effet, puisqu'un rectangle est inscriptible et que les cotés opposés sont de mêmes longueurs ( a et è) et les diagonales ont la même mesure (c), le théorème de Pythagore est un cas particulier de celui de Ptolémée : aa + bb = cc\ Une question est restée sans réponse : comment calculer sin 1° ? En fait sin 1° est impossible à calculer. La raison réside dans un théorème dû à Cari Friedrich Gauss : il montra que pour qu'un polygone régulier puisse être construit à la règle et au compas, son nombre de côtés doit être une puissance quelconque de 2 (soit 2") ou le produit d'une telle puissance par un ou plusieurs nombres premiers de Fermât^ Un nombre premier de Fermât est de la forme 2^" -t-1. Les seuls nombres premiers de Fermât connus à date sont 3,5 17, 257 et 65 537. Par exemple, il est impossible de diviser un cercle en 7, 9, 11 et 13 parties égales. Tout au long de cette présentation j'ai axé le discours sur l'aspect géométrique. Je crois très important de léguer à mes jeunes une solide formation en géométrie. J'utilise un sujet comme la trigonométrie pour solidifier leur base théorique en géométrie. Les notions de rapports, de proportions, de rapport de similitude sont des notions extrêmement importantes en mathématiques, elles sont à la base de la formation du jeune en physique et en chimie. Lorsque le jeune obtient des mêmes nombres décimaux à l'aide de sa table qu'il construit que ceux obtenus à l'aide d'une calculatrice, sa conviction, de ce qu'il fait est bon augmente d'un cran. Son sentiment de compétence se développe par le fait même. Sa maîtrise du sujet se raffermit. On entend dire chez certains « ça marche ». Bien sûr, il est important que ce soit l'élève qui produise les raisonnements qui l'amènent à construire sa table. Tout au long de cette démarche, les notions et les théorèmes portant sur les similitudes de triangles vus en secondaire 4 sont utilisés, les propriétés des angles dans les cercles en secondaire 5 sont revues. L'étudiant comprend le pourquoi de l'étude des triangles rectangles particuliers (30°,60°,90°) et (45°,45°,90°). L'étude des triangles (36°, 54°, 90°) doit avoir été faite auparavant - C'est ce que je fais au moment où j'aborde l'équation quadratique-. Le fait d'utiliser la rotation d'axes pour découvrir des formules oblige de bien faire saisir le fait qu'on puisse placer un système d'axes n'importe oii sur une feuille pour localiser un point, et le fait qu'on puisse orienter le système d'axes dans n'importe quelle direction, est un sujet qui mérite réflexion et discussion avec les étudiants! Cette approche oblige de maîtriser les opérations de base sur les radicaux. L'utilisation de la calculatrice est relayée à la fin pour approximer les radicaux. La complexité de certains radicaux requiert une maîtrise des opérations à faire avec la calculatrice.

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Le travail à accomplir par l'étudiant se veut être une semence qui donnera beaucoup de fruits : notamment, lorsqu'il étudiera le calcul différentiel, il aura une meilleure compréhension de l'utilité des séries de MacLaurin et de Taylor dans l'approximation des fonctions. Il saisira alors qu'il fut un temps où on calculait avec les radicaux et qu'aujourd'hui on calcule les approximations des fonctions avec les séries. Les séries seront pour lui un instrument de calcul qui aura du sens et non pas quelque chose à régurgiter lors d'un examen. Au fait comment calculer sin(3,5625°) ?

' ^ ^

À propos de cos 36° voir Envol nos 99, 96 et 94. Cette figure est probablement le fruit de ma mémoire d'une image déjà vue quelques décennies plus tôt. Voir l'article de lan Stewart sur Cari Friedrich Gauss dans Dossier Hors-Série, janvier 94 de la revue Pour la Science.

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