Trigonométrie - Exercices à résoudre - E

Trigonométrie - Exercices à résoudre 1.

Définitions – Formules fondamentales

1.

A l'aide du cercle trigonométrique, rechercher une valeur approchée des nombres suivants : 2π 15π 3π , cos ( – π ) , sin , tg ( ) , cotg ( – 210°) cos 120° , sin ( – π ) , tg 315° , cotg 3 2 4 4 3 Vérifier la pertinence de cette approximation à l'aide de la calculatrice 1 1 ; cotg α = 0,75 ; sin α = – . 2 4

2.

Construire tous les angles α tels que : tg α = 2 ; cos α = –

3.

On donne sin a =

4.

On donne tg a = –

5.

On donne cos a = –

6.

On donne cotg a = 4 et a ∈ ] π,

7.

Calculer cos a, tg a, cotg a sachant que sin a =

8.

Calculer sin a, tg a, cotg a sachant que cos a = – 0,28 et que a est du troisième quadrant.

9.

Calculer sin a, cos a et tg a sachant que cotg a =

10.

Un rayon lumineux passe de l'air dans l'eau. On sait qu'entre l'angle d'incidence i et l'angle de

5 et a dans le deuxième quadrant. Calculer cos a, tg a et cotg a. 13 3 et a ∈ ] – π , 0 [. On demande sin a, cos a, cotg a. 4 2 1 et a dans le deuxième quadrant. Calculer sin a, tg a, cotg a. 8

réfraction r existe la relation

3π [ . Calculer tg a, sin a, cos a. 2 12 et que a est du deuxième quadrant. 13

3 et que a est du troisième quadrant. 3

sin i 4 4 = ( étant l'indice de réfraction de l'eau par rapport à l'air). sin r 3 3

Construire le rayon réfracté connaissant le rayon incident. 11.

Simplifier les expressions suivantes : 1 1 + ) sin a cos a tg a cotg a

11.1.

(

11.2.

tg2 a – tg2 b –

11.3.

cotg2 a – cotg2 b +

11.4.

sin2 a ( 1 + cotg2 a )

11.5.

sin6 a + 3 sin2 a cos2 a + cos6 a

sin2 a – sin2 b cos2 a cos2 b sin2 a – sin2 b sin2 a sin2 b

1

12.

13.

11.6.

sin3 a + cos3 a sin3 a – cos3 a + sin a + cos a sin a – cos a

11.7.

sin4 a + sin2a cos2 a + 4 sin2 a + 5 cos2 a

11.8.

sin8 a – 2( 1 – sin2 a cos2 a)2 + cos8 a

11.9.

sin6 a – 2 sin4 a + cos6 a + sin2 a – cos4 a

Démontrer que les expressions suivantes sont indépendantes de a. 12.1.

(tg a + cotg a) sin a cos a

12.2.

tg a + cotg a –

12.3.

(sin a + cos a)2 + (sin a – cos a)2

12.4.

sin4 a + 2 sin2 a cos2 a + cos4 a

12.5.

sin6 a + 3 sin2 a cos2 a + cos6 a

12.6.

3( sin4 a + cos4 a) – 2( sin6 a + cos6 a)

1 sin a cos a

On donne x = a cos α – b cos α , y = a sin α + b cos α . 13.1.

Calculer x2 + y2

13.2.

En déduire le lieu géométrique du point de coordonnée ( x , y ) quand on fait varier le paramètre α.

14.

On donne x =

cos u sin u , y= , z = tg v. Calculer x2 + y2 – z2 . cos v cos v

15. 15.1.

On considère les trois nombres x = a cos u , y = a sin u cos v , 2

2

z = a sin u sin v.

2

Montrer que x + y + z est indépendant de u et de v. 15.2.

On considère les quatre nombres x = a cos u , y = a sin u cos v , z = a sin u sin v cos w et t = a sin u sin v sin w. Montrer que x2 + y2 + z2 + t2 est indépendant de u, v, w.

15.3.

Généraliser pour n nombres.

16.

sin a + sin b + sin c < tg c Si 0 < a < b < c < π , prouver que tg a < cos a + cos b + cos c 2

17.

On pose sin x + cos x = a

et

sin5 x + cos5 x = b. Calculer

en fonction de a et de b. 18.

Démontrer les identités suivantes. 18.1.

sin4 a – cos4 a = sin2 a – cos2 a = 2 sin2 a – 1

18.2.

sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a

18.3.

tg2 a – tg2 b =

1 1 – cos2 a cos2 b 2

sin3 x + cos3 x et sin5 x + cos5 x

19.

18.4.

1 2 1 + = 1 – sin a 1 + sin a cos2 a

18.5.

1 tg a – sin a = cos a ( 1 + cos a ) sin3 a

18.6.

sin2 b – cos2 a = 1 – cotg2 a cotg2 b sin2 a sin2 b

18.7.

sin a cos a + = sin a + cos a 1 – tg a 1 – cotg a

18.8.

tg a tg a + cotg b = tg b cotg a + tg b

18.9.

sin a + cos a tg a + 1 1 + cotg a 1 + 2 sin a cos a = = = sin a – cos a tg a – 1 1 – cotg a sin2 a – cos2 a

18.10.

4 4 sin2 a cos2 a tg a +cotg a tg a – cotg a – = 2 = tg a – cotg a tg a + cotg a tg a – cotg2 a sin2 a – cos2 a

18.11.

sin2 a + sin a cos a + cos2 a = 1 + tg a + tg2 a cos2 a

Simplifier les expressions suivantes : 19.1.

cotg 430° sin 215° cos 145° + cos( – 250°) tg 575° sin ( – 290°)

19.2.

sin 420° cos( –120°) tg3 ( – 1200°) cos 135° cotg2( – 870° )

19.3.

4 sin5

19.4.

π 5π tg cos ( – π ) 6 3 6 123π 7π 2π cotg sin cos 4 4 3

19.5.

11π 3π 7π ) cotg3 ( – ) sin ( – ) 6 4 4 32π 14π 8π 17π sin ( – ) cos3 ( – ) sin ( – ) cos3 ( – ) 3 3 3 6

19.6.

3π 3π 3π sin ( π + a ) cos ( a – π ) cotg ( – a ) – sin ( π – a ) sin ( – a ) cotg ( a – ) 2 2 2 2 2

13π 31π 7π + 3 cos2 – tg3 ( – ) 6 6 6

sin

tg2 (

13π 11π ) sin ( +a) 2 2 cos( a – 11π ) cos ( a – 7π )

sin ( a – 19.7.

19.8.

3π sin ( π – a) cotg ( – a ) cos ( a – 2π) 2 3π tg ( π + a ) tg ( π + a ) cos ( +a) 2 2

19.9.

sin ( a + 6π ) cos ( 2π – a) tg ( π – a ) cos2 ( a + 4π) 3

5π +a) 2 cos ( a + π ) 3π 2 sin ( – a) 2

tg ( 19.10.

3π – a ) cos ( a – 2π ) 2 3π tg ( π + a ) tg ( π + a ) cos ( +a) 2 2

sin ( π – a) cotg ( 19.11.

19.12.

cos ( π + a ) cos ( π – a ) 2 sin ( π – a ) cos ( π + a ) + π sin ( – a) sin ( a – 2π ) sin ( π + a ) cos ( 3π + a ) 2 2 2

19.13.

tg ( π + a ) tg ( π + a ) cotg ( π – a ) cotg ( π – a ) 2 2 + 3π 3π –a) +a) tg ( tg ( 2 2

19.14.

cos (

11π 3π 5π 13π + a ) sin ( + a ) tg ( a – ) cotg ( a + ) 2 2 2 2

4

2.

Formules d'addition, de factorisation

2.1. Formules d'addition, de duplication, en tg

x 2

1.

Calculer sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20° ; cos 10° cos 70° + sin 10° sin 70°

2.

Sans utiliser la calculatrice, calculer sin 105°, cos 105°, tg 105°, sin 165°, cos 165°, tg 165°

3.

On donne tg a =

4.

Calculer sin ( a + b) , sin ( a – b) , cos ( a + b ) , cos ( a – b) sachant que

1 n et tg b = ; calculer tg ( a + b ). 2n+1 n+1

4.1.

sin a =

24 3 , cos b = 25 5

a et b sont du premier quadrant

4.2.

sin a =

3 8 , cos b = 5 17

a∈]π,π[, b∈]0,π[ 2 2

4.3.

tg a = 2 , tg b = 3

3π [ a∈]0,π[ ,b∈]π, 2 2

5.

Simplifier l'expression cos2(a + b ) + cos2 ( a – b) – cos 2a cos 2b.

6.

Exprimer cotg (a + b) et cotg (a – b) en fonction de cotg a et cotg b

7.

Calculer en fonction des sinus et des cosinus de a, b et c : sin (a – b + c) ; cos(a + b – c) ; sin (b + c – a) ; cos (b – c + a)

8.

Calculer en fonction des tangentes des angles a, b , c : tg ( a – b + c ) ;

tg ( a – b – c )

;

tg ( b + c – a)

9.

Calculer sin 3a en fonction de sin a ; cos 3a en fonction de cos a ; tg 3a en fonction de tg a

10.

Démontrer les identités suivantes : 10.1.

sin ( a + b ) + sin ( a – b ) = tg a cos ( a + b ) + cos ( a – b)

10.2.

sin ( a + b ) – sin ( a – b ) = tg b cos ( a + b ) + cos ( a – b)

10.3.

sin ( a + b ) – sin ( a – b ) = – cotg a cos ( a + b ) – cos ( a – b )

10.4.

sin ( a – b ) + cos ( a + b) tg a + 1 1 + cotg a = = sin ( a + b ) – cos ( a – b) tg a – 1 1 – cotg a

10.5.

cos ( a + b ) cos ( a – b ) + sin ( a + b ) sin ( a – b ) = cos2 b – sin2 b

10.6.

cos ( a + b ) sin ( a – b ) + cos ( a – b ) sin ( a + b) = ( sin a + cos a )2 – 1

10.7.

cos a cos ( b + c ) + sin b sin ( c – a) – cos c cos ( a + b ) = 0

10.8.

sin a sin ( b – c ) + sin b sin ( c – a ) + sin c sin ( a – b) = 0

10.9.

sin( a – b) sin ( b – c) sin( c – a) + + =0 cos a cos b cos b cos c cos c cos a 5

sin ( a – b) cos a cos b

10.10.

tg a – tg b =

10.11.

cotg a + cotg b =

10.12.

tg a - tg b sin ( a – b ) = tg a + tg b sin ( a + b )

10.13.

cotg a + cotg b sin ( b + a ) = cotg a – cotg b sin ( b – a )

10.14.

cos ( a + b ) tg a – cotg b =– cos ( a – b ) tg a + cotg b

10.15.

cotg a cos 2a – sin 2a =

10.16.

sin 2a – tg a cos 2a = tg a

10.17.

cos a – sin a cotg ( π + a ) = cos a + sin a 4

10.18.

cos4 a – sin4 a = cos 2a

10.19.

tg a + cotg a =

10.20.

1 = sin 2a cotg a – cotg 2a

10.21.

1 = cos 2a 1 + tg a tg 2a

10.22.

sin2 ( a + b) + cos2 ( a – b ) = 1 + 2 sin 2a sin 2b

10.23.

cos2 ( a + b ) – sin2 ( a – b ) = cos 2a cos 2b

10.24.

tg ( π + a ) – tg ( π – a ) = 2 tg 2a 4 4

10.25.

tg ( π + a ) – tg ( π – a ) 4 4 = sin 2a tg ( π + a ) + tg ( π – a ) 4 4

10.26.

tg 3a – tg 2a – tg a = tg 3a tg 2a tg a

10.27.

sin 5a sin a = sin2 3a – sin2 2a

10.28.

sin 5a sin 3a = sin2 4a – sin2 a

10.29.

sin 7a sin 3a = sin2 5a – sin2 2a

10.30.

sin 7a sin a = sin2 4a – sin2 3a

10.31.

sin 2a cos a a × = tg 1 + cos 2a 1 + cos a 2

10.32.

1 cos 2a = ( 1 – tg2 a ) 1 + cos 2a 2

10.33.

1 – tg a cotg 2a sin a = 1 + tg a cotg 2a sin 3a

sin ( a + b) sin a sin b

cos 3a sin a

2 sin 2a

6

11.

12.

11.1.

Etant donné tg x = 2 , calculer sin 4x et cos 4x.

11.2.

Etant donné tg x =

Calculer sin

a a a , cos , tg sachant que : 2 2 2

12.1.

cos a =

8 et a est dans le quatrième quadrant, 17

12.2.

sin a =

5 et a est dans le deuxième quadrant. 9

3 , calculer les fonctions trigonométriques de 2x. 2

2.2. Formules de Simpson, de Carnot, de linéarisation 13.

14.

Démontrer les égalités suivantes : 13.1.

sin 9° cos 27° cos 63° sin 81° =

1 16

13.2.

sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° =

1 16

13.3.

4 cos 10° cos 30° cos 50° cos 70° =

13.4.

tg 10° tg 30° tg 50° tg 70° =

13.5.

tg 75° tg 5° = tg 35° tg 25°

13.6.

4 sin

13.7.

sin

3 4

1 3

7π 11π sin = 3+ 2 24 24

11π 5π 1 cos = (2 – 3 ) 12 12 4

Démontrer les égalités suivantes : 1+ 3 2

14.1.

2 sin 65° cos 35° – 2 cos 80° sin 20° =

14.2.

2 sin 125° sin 55° – 2 cos 110° cos 40° =

14.3.

sin2 39° – sin2 21° =

1 ( 15 – 3 ) 8

14.4.

cos2 6° – cos2 24° =

1 ( 5–1) 8

14.5.

6π π sin 13 13 1 = 6π 8π 2 cos – cos 13 13 sin

7

2+ 3 2

13π π cos 17 17 1 =– 2 5π 3π sin – sin 17 17 sin

14.6.

15.

Démontrer les identités suivantes : a+b 2 a–b tg 2

tg

15.1.

cos a – cos b = sin a – sin b

15.2.

cos a – cos b = cos a + cos b

15.3.

cos a – cos b a+b = – tg sin a – sin b 2

15.4.

sin a – sin b a–b = tg cos a – cos b 2

15.5.

sin ( a + b ) = sin a +sin b

15.6.

sin ( a – b) = sin a – sinb

15.7.

( sin a + sin b ) ( sin a – sin b ) = sin ( a + b) sin ( a – b)

15.8.

( cos a + cos b ) ( cos b – cos a ) = sin ( a + b ) sin ( a – b )

15.9.

cos a + 2 cos 2a + cos 3a = 4 cos 2a cos2

15.10.

sin a + sin 2a + sin 3a + sin 4a = 4 sin

15.11.

cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a = 4 cos 4a cos 2a cos a

15.12.

cos a – cos 3a + cos 5a – cos 7a = 4 sin 4a cos 2a sin a

15.13.

sin a + sin 2a + sin 3a = tg 2a cos a + cos 2a +cos 3a

15.14.

sin 5a + sin 3a = 2 sin 2a cos 3a + cos a

15.15.

sin 5a – sin 3a = – cotg 4a cos 5a – cos 3a

15.16.

1 sin 2a + cos 2a = cos a – sin a – cos 3a + sin 3a 2 sin a

b+a 2 b–a cotg 2 tg

a+b 2 a–b cos 2

cos

a–b 2 a+b cos 2 cos

8

a 2

a 5a cos a cos 2 2

16.

17.

15.17.

a+b a–b 2 sin a = tg + tg 2 2 cos a + cos b

15.18.

sin a + sin b + sin ( a + b ) = 4 sin

15.19.

cos a + cos b + sin ( a + b ) = 4 cos

b a+b π a cos ( – ) cos ( π – ) 2 4 2 4 2

15.20.

cos a + cos b + cos ( a + b ) = 4 cos

a b a+b cos cos – 1 2 2 2

15.21.

sin a + sin b – cos ( a + b ) = – 1 + 4 sin

15.22.

sin a + sin b + sin c – sin ( a + b + c ) = 4 sin

15.23.

cos a + cos b + cos c + cos ( a + b + c ) = 4 cos

a a a+b cos sin 2 2 2

a+b a b sin ( π + ) sin ( π + ) 2 4 2 4 2 b+c c+a a+b sin sin 2 2 2 b+c c+a a+b cos cos 2 2 2

Démontrer que si a + b + c = π , on a les égalités suivantes : a b c sin sin 2 2 2

16.1.

sin a – sin b – sin c = – 4 cos

16.2.

cos a + cos b + cos c = 1 + 4 sin

16.3.

b c a cos a – cos b – cos c = 1 – 4 sin cos cos 2 2 2

16.4.

sin 2a + sin 2b + sin 2c = 4 sin a sin b sin c

16.5.

cos 2a + cos 2b – cos 2c = 1 – 4 sin a sin b cos c

16.6.

sin2 a + sin2 b + sin2 c = 2 ( 1 + cos a cos b cos c )

16.7.

cos2 a + cos2 b + cos2 c = 1 – 2 cos a cos b cos c

a b c sin sin 2 2 2

Démontrer que pour tout x ∈ [ 0 , π ], on a 1 + sin x – 1 – sin x = 2 2

9

1 – cos x 2

3.

Equations trigonométriques

3.1. Equations élémentaires Résoudre les équations suivantes : 2 3

12.

2 cos x + 1 = 0

13.

1 + 3 cotg 4x = 0

14.

sin x = sin 9x

15.

cotg x + cotg ( x +

16.

cos 5x + cos 3x = 0

17.

sin 3x = cos 2x

18.

tg x = cotg ( π + 2x ) 2

2 cos 2x + 3 = 0

19.

tg x × cotg 3x = 1

8.

1 sin 4x = 2

20.

tg x × tg 4x = 1

9.

3 tg 5x = 1

21.

sin 2x + sin x = 0

10.

tg2 x = 1

22.

tg x + cotg

11.

tg

23.

tg x + tg

1.

sin x = –

2.

cos x = – 0,31318

3.

cotg x = – 1,51834

4.

3 sin x = – 2

5.

tg x = 1,46

6.

– 2 cos x = 2

7.

x = tg 2x 2

π )=0 3

π =0 3

π =0 7

3.2. Equations quelconques Résoudre les équations suivantes : 1.

2 sin2 x + sin x - 1 = 0

12.

6 cos2 x + 5 sin x – 7 = 0

2.

6 sin2 x + sin x – 1 = 0

13.

1 + sin x cos x = cos2 x

3.

3 cos2 – 5 cos x – 2 = 0

14.

sin x + sin 3x = 3 cos x

15.

sin 2x + sin 4x = sin 3x

4.

2

4 cos – 2( 2 + 3) cos x + 6 = 0 2

5.

tg x – 4 tg x + 3 = 0

16.

2 cos2 x – sin2 x – 2 cos x = 0

6.

tg2 x + ( 1 + 3 ) tg x + 3 = 0

17.

cos x + cos 3x = cos 2x

7.

3 cos2 x = 2 sin2 x

18.

tg x + 3 cotg x = 4

8.

1 + sin x =3 1 – sin x

19.

cos x + cos 3x = sin 2x + sin 4x

20.

tg x + 3 cotg x = 1 +

9.

sin 2x = 2 sin x

21.

cos x + cos 3x = sin 3x + sin 5x

10.

tg 2x = tg 2x

22.

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0

11.

cos 2x = cos 2x – sin x 10

3

23.

cos 2x – 3 cos x + 2 = 0

24.

sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x

25.

tg x – 2 sin x = 4 sin 2x

26.

tg x + tg 2x = tg 3x

27.

cos 2x + 7 sin x – 4 = 0

28.

cos 2x + sin x +

29.

3 ( 2 sin x + 1 ) = 0 2

5 sin 2x – (sin x – cos x)2 = tg x + cotg x

2 cotg 2x – 1 =

31.

2 tg 2x – 1 =

32.

tg 2x = 3 tg x

33.

cotg x +

34.

sin 3x = 2 sin x

35.

sin 3x = sin2 x

36.

sin 3x = 2 sin3 x

37.

tg x + cotg 2x + 3 sin2 x = 5 cos2 x – 1

3.3. Equations homogènes en sin x et cos x 1.

sin x + 3 cos x = 0

2.

4 sin2 x – 11 sin x cos x + 6 cos2 x = 0

3.

2 cos2 x – 11 sin x cos x + 4 = 0

4.

3 sin4 x – 10 sin2 x cos2 x + 3 cos4 x = 0

5.

sin3 x + 2 sin2 x cos x – 3 sin x cos2 x = 0

6.

2 cos2 x – 3 sin x cos x = 0

3.4. Equations symétriques en sin x et cos x 9 8

1.

sin3 x + cos3 x =

2.

sin4 x – sin2 x cos2 x + cos4 x =

3.

sin4 x + cos4 x =

1 2

4.

sin6 x + cos6 x =

5 8

5.

sin x + cos x – sin x cos x =

6.

tg2 x + cotg2 x = tg x + cotg x

1 4

2– 3 4

11

1 ( cotg x – tg x ) 2

30.

1 ( cotg x – tg x ) 2

1 x tg = 0 3 2

3.5. Equations de la forme a sin x + b cos x = c 6 2

1.

sin x + cos x =

2.

2 cos x – sin x = 2

3.

2 cos x – 5 sin x = 2

4.

5 sin x – 4 cos x = 4

5.

4 sin x – 3 cos x = 4

6.

7 sin x – 5 sin x = 5

13.

sin x + cos x + 3 ( cos x – sin x ) = 2 2

14.

sin x – cos x +

15.

( 3 + 1 ) sin x + ( 3 – 1 ) cos x =

16.

5 cos2 x + 2 sin x cos x – sin2 x = 4

17.

2 sin2 x + 2 sin 2x + cos2 x = 3

3 ( cos x + sin x ) = 2 3 3 sin x

12

7.

sin x + 3 cos x = 2

8.

sin x – 3 cos x = 2

9.

sin x + 3 cos x =

10.

3 sin x + 3 cos x =

11.

sin x + 3 cos x = 2

12.

5 cos x – 2 sin x = 4

1 ( 5–1) 2 6

4.

Inéquations élémentaires

1.

sin x ≥

1 2 1 2

2.

cos 3x < –

3.

 sin x  <

3 2

x 2 > 3 2

9.

2 cos2 x – cos x – 1 ≥ 0

10.

2 sin2 2x ≥ 2 sin2 x + 1

11.

cos 2x 0

13.

cos2 x – sin x > 0

14.

1 + sin x > cos2 x 3 sin x + 2 > 2 sin2 x

4.

sin

5.

3 tg2 x ≤ 1

15.

6.

π cotg ( – 2x ) ≥ 1 3

16.

7.

sin x > cos x

8.

cos x + 3 sin x > 1

13

3 tg2 x – 4 tg x + 3 < 0 x x – cos – 1 > 0 2 2

17.

2 cos2

18.

2 cos2 x – 3 sin x – 2 < 0

5.

Triangles rectangles

1.

Résoudre le triangles rectangle ABC connaissant les éléments suivants : a

b

β

c

45

γ

40° 15' 50''

125

35° 12' 32''

42,17

47° 21' 44''

45

25

35

20

123,4

85,6 63

35° 42' 25''

215

52° 18' 45''

384,13

2.

3.

24° 18' 52''

45

58

207

171

1320

873

Résoudre le triangle rectangle ABC connaissant les éléments suivants : 2.1.

a b = 36 , = 2,5 c

2.2.

a = 13 , b + c = 17

2.3.

a = 42 ,

2.4.

b = 28 , a – c = 14

c = 1,73205 b

2.5.

p = 42 , S = 294

2.6.

b 4 S = 216 , = c 3

2.7.

a = 2b , c = 234

2.8.

a = 50 , h = 25

La hauteur relative à l'hypoténuse d'un triangle rectangle détermine sur cette hypoténuse deux segments dont les longueurs respectives sont 20 cm et 45 cm. Calculer les côtés et les angles de ce triangle, la hauteur relative à l'hypoténuse et l'aire.

4.

Quelle est la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon, si une tour de 25 m de hauteur projette une ombre de 44 m?

5.

D'un navire on voit sous un angle de 3° 15' 42'' un phare de 75 m de hauteur. Quelle est la distance du navire au phare?

14

6.

Un poids de 60 kg repose sur un plan incliné de 27° sur le plan horizontal. Quelle pression ce poids exerce-t-il sur le plan incliné?

7.

La. base d'un triangle isocèle mesure 20 cm, les côtés égaux mesurent 32 cm. Calculer les angles de ce triangle et la hauteur relative h la base?

8.

D'un triangle isocèle on donne les éléments suivants. Compléter le tableau Base

Côtés égaux

a a a a

b

Angle au sommet α

b b b

α α

9.

Angles à la base

β β β

Hauteur relative à la base

h h h h

Démontrer que dans un triangle isocèle la somme des distances d'un point quelconque de la base aux deux autres côtés est une constante.

10.

Les côtés d'un rectangle mesurent 20 cm et 15 cm. Calculer la diagonale de ce rectangle ainsi que les angles que forme cette diagonale avec les cotés.

11.

La diagonale d'un rectangle mesure 32 cm et fait un angle de 35°12' avec l'un des côtés. Calculer les côtés de ce rectangle.

12.

Dans un trapèze rectangle, les côtés parallèles mesurent 21 cm et 30 cm, le côté de l'angle droit mesure 12 cm. Calculer le quatrième côté de ce trapèze, les angles aigus et les diagonales.

13.

Dans un trapèze isocèle, les côtés parallèles mesurent 7 cm et 18 cm et les angles à la grande base 52° 17' 45". Calculer les autres côtés de ce trapèze et sa hauteur.

14.

Dans un trapèze isocèle, les côtés parallèles mesurent 9 cm et 21 cm, la hauteur mesure 8 cm. Calculer les autres côtés de ce trapèze et les angles.

15.

Les diagonales d'un losange mesurent 12,8 cm et 9,6 cm. Calculer le côté et les angles de ce losange.

15

16.

Une diagonale d'un losange mesure 20,8 cm, l'angle opposé 102° 16'. Calculer le côté de ce losange, le deuxième angle et la deuxième diagonale.

17.

Calculer l'aire d'un losange connaissant le côté a et un angle A.

18.

Dans un cercle de rayon R est tracée une corde de longueur a. Calculer l'angle au centre correspondant et la distance de cette corde au centre.

19.

Calculer l'aire du segment de cercle déterminé par une corde de 24 cm dans un cercle de 15 cm de rayon.

20.

Calculer l'aire de la partie commune à deux cercles sécants ayant pour rayons respectifs 8 cm et 5 cm, la corde commune étant égale à 6,4 cm.

21.

Calculer le côté du polygone régulier convexe à 9 côtés, inscrit dans un cercle de 10 cm de rayon.

22.

Calculer le côté du polygone régulier convexe à 7 côtés, inscrit dans un cercle de rayon R.

23.

D'un point situé à une distance a du centre d'un cercle de rayon R (R < a) on trace deux tangentes à ce cercle. Calculer la longueur des segments tangents limités à leur point de contact; la longueur de la corde des contacts, l'angle que forment entre elles les deux tangentes.

24.

Deux circonférences sont tangentes extérieurement et tangentes aux côtés d'un angle de 60°. L'une des circonférences a 10 cm de rayon. Calculer le rayon de la deuxième circonférence.

25.

La distance des centres de deux cercles de rayons R et r est d (d > R + r). Calculer la longueur des tangentes communes extérieures limitées aux points de contact et l'angle que ces deux tangentes forment entre elles?

26.

Résoudre le triangle rectangle ABC connaissant les projections m et n des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.

16