TS. Évaluation 2 -Correction 1 ( 3 points ) 1. Restitution organisée

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TS. Évaluation 2 -Correction

1 ( 3 points ) 1. Restitution organisée de connaissances : Prérequis : On rappelle que deux évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Questions : Soient A et B deux évènements associés à une expérience aléatoire ³ ´ a. Démontrer que p(B) = p(B ∩ A) + p B ∩ A . A et A sont deux événements incompatibles dont la réunion est l’univers Ω, donc on obtient une partition de l’univers Ω en considérant un événement A et son contraire A, ainsi P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) ³ ´ ³ ³ ´´ ³ ´ Remarque : p (B) = p (B ∩ Ω) = p B ∩ (A ∪ A) = p (B ∩ A) ∪ B ∩ A = p(B ∩ A) + p B ∩ A b. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les évènements A et B le sont également. P(A ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B)

comme A et B sont indépendants, on a :

P(A ∩ B) = P(B) − P(A) × P(B) = P(B) (1 − P(A)) ⇐⇒ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇐⇒ A et B sont indépendants 2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants : • R : « il n’entend pas son réveil sonner » ;

• S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0, 1 et que celle de S est égale à 0, 05. Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l’heure. a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. ³ ´ Il faut calculer p R ∩ S . Les évènements R et S étant manifestement indépendants, R et S le sont aussi. ³ ´ ³ ´ Donc p R ∩ S = p R × p(S) = (1 − 0, 1) × 0, 05 = 0, 9 × 0, 05 = 0, 045 b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné. Il faut que³ Stéphane entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu’il soit à l’heure est donc ´ égale à p R ∩ S . D’après la propriété démontrée au-dessus R et S sont indépendants. ´ ³ ´ ³ ´ ³ Donc p R ∩ S = p R × p S = (1 − 0, 1) × (1 − 0, 05) = 0, 9 × 0, 95 = 0, 855

c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale. À la répétition, 5 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si Stéphane entend son réveil p = 0, 9) on peut associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de fois où Stéphane entend son réveil. X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 9. X ,→ B (5 ; 0, 9) La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est p(X > 4) : Ã ! Ã ! 5 5 p(X = 4) + p(X = 5) = × 0, 94 × 0, 1 + × 0, 95 × 0, 10 = 0, 5 × 0, 94 + 0, 95 = 0, 94 × 1, 9 = 0,918 54 ≈ 0,918 5 4 5

2 ( 4 points )

Dans un jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La 1 probabilité de gagner chaque partie est égale à . 4 Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 1.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. Les épreuves étant identiques et indépendantes, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une µ ¶ 1 1 loi binomiale avec n = 10 et p = . X ,→ B 10 ; 4 4 b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près. Ã ! µ ¶ µ ¶ 10 1 0 3 10 310 On a p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − × = 1 − 10 ' 0, 943 ≈ 0, 94 à 10−2 près. 0 4 4 4 c. Déterminer l’espérance de X. On a E(X) = n × p = 10 ×

1 = 2, 5 4

2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €. a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. Le joueur doit payer 30 € pour les 10 parties et récupérera en moyenne 2, 5 × 8 = 20 €. (avec une espérance de gagner 2,5 parties sur 10). En moyenne les 10 parties coûteront 30 − 20 = 10 €, soit 1 € par partie. Le jeu est donc désavantageux. Remarque : En posant Y = −30 + 8.X, la variable aléatoire Y représente le gain du joueur sur 10 parties on a :

E(Y) = E(−30 + 8X) = −30 + 8 × E(X) = −30 + 8 × 2, 5 = −10 €

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 € ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près. Pour réaliser un bénéfice supérieur à 40 €, vu la mise de 30 €, il faut gagner plus de 70 €. Comme 8 × 8 = 64, il faut donc gagner 9 parties au moins sur 10 (9 × 8 = 72). Ã !µ ¶ µ ¶ Ã !µ ¶ µ ¶ 10 1 9 3 10 1 10 3 0 3 1 31 p(X = 9) + p(X = 10) = + = 10 × 10 + 10 = 10 ' 0,000 029 56 ≈ 0,000 03 9 4 4 10 4 4 4 4 4

3 ( 3 points )

Un point P effectue n déplacements horizontalement selon l’algorithme suivant : 1. Faire fonctionner l’algorithme dans le cas où P n = 4. Où se trouve votre pion ? −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Initialisation : P ← 0 Traitement : Pour n = 4, la variable P, peut par exemple, recevoir successivement, les affectations suivantes : P ← P + 1 avec entier_aleatoire(0, 1) = 1 P ← P − 1 avec entier_aleatoire(0, 1) = 0 P ← P + 1 avec entier_aleatoire(0, 1) = 1 P ← P + 1 avec entier_aleatoire(0, 1) = 1 Sortie : La valeur de P affichée correspond dans cette simulation à la position P=2 P −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

3

4

5

Variables : n, i et P sont des entiers naturels Début de l’algorithme : Lire n i prend la valeur 0 P prend la valeur 0 Tant que i < n P prend la valeur P + 2 × entier_aleatoire(0, 1) − 1 i prend la valeur i + 1 Fin Tant que Afficher P Fin algorithme

B entier_aleatoire(0, 1) est une commande qui génère l’entier 0 ou l’entier 1 de façon pseudo-aléatoire. © ª Remarque : pour n = 4, la valeur de P affichée appartient à l’ensemble − 4 ; −2 ; 0 ; 2 ; 4 . 2. Calculer la probabilité, que votre pion revienne à la position initiale après 4 déplacements. Après 4 déplacements, la position de P peut-être modélisée par la somme des 4 valeurs e 0 + e 1 + e 2 + e 3 avec e i = ±1 pour chaque valeur de i conduisant à l’exécution du bloc de la boucle « Tant que ». En effet si entier_aleatoire(0, 1) = 1 alors P avance de 2 × 1 − 1 = +1 sinon entier_aleatoire(0, 1) = 0 et alors P avance de 2 × 0 − 1 = −1. En considérant l’univers Ω comme l’ensemble des quadruplets (e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) avec e i = ±1 pour 0 6 i 6 3, ¡ ¢ 1 Card Ω = 24 = 16 . on définit une loi de probabilité équirépartie en associant à chaque quadruplet la probabilité 16 Le pion revient à la position initiale si, et seulement si le quadruplet est tel que e 0 + e 1 + e 2 + e 3 = 0. Les quadruplets réalisant cet évènement noté A, sont donc constitués d’autant de valeurs +1 que de valeurs −1 Ã ! 4 soit pour 4 déplacements : 2 valeurs +1 et 2 valeurs −1 il y a = 6 quadruplets favorables 2 (il faut choisir 2 positions parmi 4 pour les +1) La probabilité que le pion revienne à la position initiale après 4 déplacements est :

p(A) =

Card A 6 3 = = Card Ω 16 8

Remarque : À la répétition 4 fois, de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si le pion avance de +1 avec p = 21 ) je peux associer une variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès. X suit une loi binomiale µ ¶ 1 1 de paramètres n = 4 et p = 2 . X ,→ B 4 ; Si le pion est retourné à la position initiale après 4 déplacements, 2 Ã ! µ ¶ µ ¶ µ ¶4 1 2 1 2 1 3 4 × = 6× = alors il a avancé 2 fois de +1 et reculé 2 fois de −1 donc il y a 2 succès. P(A) = P(X = 2) = × 2 2 2 2 8

3. Calculer, en fonction de n, la probabilité que votre pion revienne à la position initiale après n déplacements. On considère l’univers Ω comme l’ensemble des n-uplets (e 0 , e 1 , . . . , e n−1 ) avec e i = ±1 pour 0 6 i 6 n − 1. (Card Ω = 2n ), on note An l’évènement « le pion revient à la position initiale après n déplacements ». • si n est impair, il est impossible d’obtenir un n-uplet constitué d’autant de valeurs +1 que de valeurs −1, donc p (An ) = 0 si n est impair à ! n à ! n/2 n • si n est pair, il y a façons de choisir la position des +1, donc p (An ) = si n est pair n/2 2n Remarque : Si n est pair, le pion retourne à la position initiale après n déplacements, si il avance ¡ ¢ de −1, donc il y a n2 succès pour la variable aléatoire X avec X ,→ B n ; 21 à ! µ ¶ ! µ ¶ µ ¶n/2 à ³ n´ n n 1 n/2 1 1 n p (An ) = p X = = × × = × si n est pair n/2 n/2 2 2 2 2

n 2

fois de +1 et reculé

n 2

fois