TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011. MATHEMATIQUES Exercice 1

TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011. MATHEMATIQUES Exercice 1 : les figures du jeu de poker. Au poker on dispose d'un jeu de 32 cartes. Le donneur distribue à chaque joueur cinq cartes qui constituent une main. On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, chaque carte a une valeur et une couleur. Les 8 valeurs sont, par ordre croissant, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as ; et les 4 couleurs sont trèfle, carreau, cœur, pique. 1) Parmi toutes ces mains possibles, dénombrer les : a) quintes floches : cinq cartes de valeurs consécutives, de la même couleur.(ex : 8, 9, 10, V, D à cœur) b) couleurs : cinq cartes de valeurs non consécutives de la même couleur.(ex : 7, 8, V, R, A à cœur) c) carrés : quatre cartes de la même valeur et une autre carte.(ex : les 4 valets et le 7 de trèfle) d) fulls : trois cartes de la même valeur et deux cartes d’une même autre valeur. (ex : 3 as et 2 dames) e) quintes (non floches) : cinq cartes de valeurs consécutives pas toutes de la même couleur (ex : 9 de cœur, 10 de trèfle, valet de trèfle, dame de pique, roi de cœur) f) brelans : trois cartes de la même valeur (et trois seulement) (ex : 3 rois, as de pique, dame de trèfle) g) doubles paires : deux paires de valeurs distinctes (ni brelan, ni full)(ex : 2 as, 2 valets, 8 de pique) h) simples paires : deux cartes de la même valeur et deux seulement (ni brelan, ni full, ni carré) (ex : 2 rois, as de trèfle, dame de pique, 9 de carreau) 2) Calculer la probabilité de chacune des figures précédentes : on donnera d’abord la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée à 10−3 près. 3) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une des figures précédentes ? _________________________________________________________________________________________ Exercice 2 Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans la question 1) on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles. 1) Soit les événements suivants : A : « Les trois boules sont rouges. » B : « Les trois boules sont de la même couleur. » C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. » a) Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C). b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X). 2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soient les événements suivants : D : « Tirer deux boules rouges. » E : « Tirer deux boules de la même couleur. » a) Montrer que la probabilité de l’événement D est p ( D) =

b) Calculer p(E) en fonction de n. Pour quelles valeurs de n a-t-on p ( E ) ≥

1 ? 2

n(n − 1) . (n + 5)(n + 4)

CORRIGE Exercice 1 1) Les figures a) Quintes floches. (5 cartes de valeurs consécutives, de la même couleur) Pour une couleur donnée, il y a 4 quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi et du 10 à l'as. Il y a 4 couleurs, donc : 4 × 4 = 16 mains sont des quintes floches. b) Couleurs. (5 cartes de valeurs non consécutives, de la même couleur) 8 8 Il y a   mains d’une couleur donnée. Il y a 4 couleurs, donc 4×   mains avec toutes les cartes de la 5 5 même couleur. Parmi celles-ci, il y a les quintes floches, donc les mains avec toutes les cartes de la 8 même couleur non consécutives sont au nombre de : 4×   – 16 = 208. Il y a 208 « couleurs ». 5 c) Carrés. (4 cartes de la même valeur, plus une autre carte) Il y a 8 valeurs possibles du carré et 28 façons de choisir la 5ème carte. Il y a donc en tout : 8×28 = 224 carrés. d) Fulls. (3 cartes de la même valeur et 2 cartes d’une même autre valeur) Il y a 8 × 7 = 56 façons de choisir un couple de valeurs : l’une pour les 3 cartes de même valeur, l’autre 4 pour les 2 cartes de même valeur. Il y a   façons de choisir les 3 cartes de même valeur parmi les 4 3  4 d’une valeur donnée, et   façons de choisir les 2 cartes de même valeur parmi les 4 de l’autre valeur. 2  4  4 En tout, on a donc : 56 ×   ×   = 1344 fulls. 3  2 e) Quintes (non floches). (5 cartes de valeurs consécutives, pas toutes de la même couleur) Il y a 4 valeurs de quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi, du 10 à l'as. Pour chacune des cartes d’une quinte donnée il y a 4 couleurs possibles. Il y a donc 4 × 45 = 4096 quintes possibles, y compris les quintes floches. Il y a donc : 4096 – 16 = 4080 quintes non floches. f) Brelans. (3 cartes de la même valeur, et 3 seulement)  4 Il y a 8 choix possibles de la valeur des 3 cartes et   façons de choisir ces 3 cartes parmi les 4 cartes 3  28  de la même valeur. Il reste 2 cartes à choisir parmi les 28 restantes, soit   façons de le faire. En tout, 2  4   28  on a ainsi : 8     = 12096 mains contenant 3 cartes de même valeur, y compris les fulls. 3  2  Il y a donc : 12096 – 1344 = 10752 brelans. g) Doubles paires. (2 paires de valeurs distinctes) 8  4 Il y a   façons de choisir les deux valeurs des paires parmi 8 valeurs. Pour chaque paire, il y a   2 2 choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur donnée. La 5ème carte doit être choisie parmi les 24 cartes 8   4  4 restantes. En tout, on a :       ×24 = 24192 doubles paires.  2  2  2

h) Simples paires. (2 cartes de la même valeur et 2 seulement) 4 Il y a 8 choix possibles de la valeur de la paire, et   choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur 2 donnée. Les 3 autres cartes doivent être choisies de 3 valeurs différentes, et différentes de la valeur de la 7 paire (pourquoi ?) : il y a   façons de choisir ces valeurs, et pour chaque valeur, il y a 4 façons de 3 4 7 choisir la couleur de la carte. Soit en tout : 8     ×4×4×4 = 107520 paires simples.  2 3 2) Tableau des résultats :

Figures Nb de cas probabilités v. app.

Quintes floches

Couleurs

Carrés

Fulls

16 1 12586 0,000 08

208 13 12586 0,001

224 1 899 0,001

1 344 6 899 0,007

Quintes non floches 4 080 255 12586 0,020

Brelans

Doubles paires

Simples paires

10 752 48 899 0,053

24 192 108 899 0,120

107 520 480 899 0,534

148336 ≈ 0,737 0,737. 37. 201376 _________________________________________________________________________________________ Exercice 2 Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne.

3) La probabilité d’avoir au moins une de ces figures est la somme de ces valeurs :

1) Soit les événements suivants : A : « Les trois boules sont rouges. » B : « Les trois boules sont de la même couleur. » C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. » a) Calculons les probabilités demandées : 5   3 10 1 • P( A) =   = soit P( A) = 12  10  120 3    5  3  +  3 3 11 11 • P( B) =     = soit P ( B ) = 120 120  10  3    5  3  2      1 1 1 30 1 • P(C ) =     = soit P(C ) = 10 120 4   3  

b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues. Déterminons la loi de probabilité de X et calculons E(X) : L’événement B signifie que X = 1 et C que X = 3. On en déduit que : 11 1 79 P( X = 2) = 1 − P( X = 1) − P( X = 3) = 1 − − = . 120 4 120 Donc la loi de X est donnée par : X P

Et on a : E ( X ) =

1 11 120

2 79 120

3 1 4

259 ≈ 2, 2 120

2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les événements suivants : D : « Tirer deux boules rouges. » E : « Tirer deux boules de la même couleur. »

n(n − 1) . (n + 5)(n + 4)  n + 5 Le nombre total de tirages possibles de 2 boules est :    2  n Le nombre de tirages de 2 rouges est :   et donc on a : 2

a) Montrons que la probabilité de l’événement D est P( D ) =

n n(n − 1)   2 n(n − 1) 2 P( D) =   = = .  n + 5  (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4)  2  2  

b) • Calculons la probabilité P(E) en fonction de n : E est la réunion de 3 événements incompatibles : tirer 2 rouges (D) ou 2 jaunes ou 2 vertes. 3 2     2 2 n(n − 1) 3 1 n2 − n + 8   P( E ) = P ( D) + + = + + = .  n + 5   n + 5  (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4)  2   2  2 2     Soit : P( E ) =

n2 − n + 8 . (n + 5)(n + 4)

• Cherchons pour quelles valeurs de n on a : P( E ) ≥

n2 − n + 8 1 1 soit ≥ 2 (n + 5)(n + 4) 2

2n2 − 2n + 16 ≥ n 2 + 9n + 20 ⇔ n2 − 11n − 4 ≥ 0 11 − 137 11 + 137 Ce polynôme du 2nd degré a pour racines soit environ – 0,35 et 11,4 ; il est et 2 2 1 positif pour n extérieur à ces valeurs, donc : on a P( E ) ≥ pour n ≥ 12. 2