TUTORAT UE4 2010-2011 – Biostatistiques

TUTORAT UE4 2010-2011 – Biostatistiques Séance n°2 – Semaine du 18/10/2010 Lois de Probabilité discrète - M. SABATIER Lois de probabilité continues - M. SABATIER Estimation ponctuelle et par intervalle - M. SABATIER Séance préparée par les tuteurs de Pharmacie de Montpellier QCM n°1 : Loi Normale Soit U, une variable aléatoire suivant une loi N(0,1) a) P(U2,47) = 0,9932 d) P(-2,51,4) = 0,0808 f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°2 : Loi Normale La variable X suit une loi Normale N (1,1 ; 0,3) a) La loi Normale est caractérisée par les paramètres suivants : moyenne, écart type b) P(X < 1,2) = 0,8849 c) P (|U| ≤ 2,5) =0,9938 d) Le Théorème central limité établi la convergence d’une somme de n variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi vers la loi Normale lorsque n augmente. e) f)

Une fonction f définie sur ℝ est dite densité de probabilité, si et seulement si elle vérifie 2 critères Toutes les réponses précédentes sont fausses

QCM n°3 : Loi Normale Une étude est menée sur la prise de poids de 20 individus étudiant en PACES, on mesure le Gain Moyen Quotidien (GMQ) en grammes. Soit X variable aléatoire égale au GMQ suivant une loi Normale N (600, 30) : a) b) c) d) e)

f)

U= suit une loi Normale centrée réduite N (0, 1) La valeur de P (X < 550) est comprise entre 0,0475 et 0,0485 La valeur de P (X < 550) est comprise entre 0,9525 et 0,9535 La valeur de P (580 < X < 610) est comprise entre 0,3747 et 0 ,3779 Parmi les 20, on sélectionne le quart supérieur (celui dont le GMQ est le plus important), un individu sera sélectionné à partir d’un GMQ compris entre 579,6g et 579,9g Toutes les propositions précédentes sont fausses

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QCM n°4 : Loi de Poisson Une étude sur la sécurité du travail dans le Languedoc-Roussillon a montré que le nombre d’accidents du travail en une année suit une loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0). On appelle X la variable aléatoire « nombre d’accidents par an ». a) La loi de Poisson est en général utilisée pour des évènements rares b) c) d) e) f)

E(X) = λ Var(X) = λ² Si la probabilité qu’il y ait au moins un accident par an est de 0,94 alors E(X) = 0,0619 Toutes les propositions précédentes sont fausses

QCM n°5 : Loi de Poisson Une étude se penche sur l’apparition de nouveaux cas de cancer de la thyroïde dans le Languedoc Roussillon sur une durée de un an. On observe que la variable X « nombre de nouveaux cas » , suit une loi de Poisson. On sait aussi que la probabilité de n’observer aucun nouveau cas est environ égale à . a) λ = 25 (à 5% près) b) c) On peut faire une approximation de cette loi de Poisson par une loi Normale de paramètre µ =25 et σ=5 d) L’approximation par la loi Normale est impossible car dans le cas d’une loi continue P(X=k) = 0 e) Si on utilise une approximation par une loi Normale, on obtient f) Toutes les propositions précédentes sont fausses QCM n°6 : Loi Binomiale Un contrôle effectué au cours de la fabrication de gélules met en évidence qu’en moyenne une gélule sur 20 est défectueuse. On désigne par X le nombre de gélules défectueuses sur un échantillon de 800 gélules. a) X suit une loi binomiale de paramètre n =800 et p =0.95 b) E(X) = 38 et Var(X) = 40 c) On peut approximer cette loi binomiale par une loi Normale d) Pour calculer en utilisant la loi normale, il n’est pas nécessaire d’appliquer la correction de continuité e) La valeur P(X 55) est comprise entre 0,3483 et 0,3493 f)

Toutes les propositions précédentes sont fausses

QCM n°7 :Loi Binomiale Sur une population de 10 000 personnes, on a observé 103 albinos. On appelle X, la variable représentant le nombre d’albinos que l’on observe sur un échantillon de 100 personnes prises au hasard. a) La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n =100 et p= 0,0103 b) P(X=0) = 0,0355 c) L’espérance mathématique de X est égale à 1,01 d) On peut approximer cette loi binomiale par une loi de poisson e) Cette loi de poisson permet de calculer une valeur de P(X=0) =0,357 2010-2011

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f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°8 : Loi Binomiale Un laboratoire pharmaceutique affirme qu’un médicament nouvellement mis en vente est efficace dans 90% des cas. Des hôpitaux décident d’expérimenter ce médicament sur des groupes de 1000 malades. Soit X, la variable aléatoire correspondant au nombre de malades guéris. a) X~B (1000,9) b) Le nombre moyen de malades guéris est de 90 c) La variance de X est égale à 90 d) Nous pouvons approximer la loi binomiale par une loi normale e) S’il est possible d’approximer la loi binomiale par une loi normale alors, X~ N (900,90) f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°9 : Intervalle de Confiance Les teneurs en nicotine de cinq cigarettes provenant d’un paquet light mesurées en milligrammes sont respectivement de : 0,4-0,6-0,8-0,4-0,8. On se propose de fournir un intervalle de confiance à 95% de la moyenne de la population dont est issu cet échantillon. a) Il faut supposer que la variable aléatoire X : « teneur en nicotine » suit une loi normale : X~N (µ,σ) b) La moyenne de l’échantillon est égale à 0,6 mg et son écart-type est 0,032mg c) L’écart type estimé de la population est de 0,3mg d) L’intervalle de confiance est [0,3517 ; 0,8483] e) L’intervalle de confiance dans le cas où l écart type de la population est connu (σ=0,2mg) est [0,4247 ; 0,7753] f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°10 : Intervalle de confiance et généralité sur les lois On suppose que le poids des lapins d’une population est une variable aléatoire, d’écart-type égal σ² à 3kg. Dans des conditions données, on a pesé un échantillon de 45 lapins ; la moyenne observée est de 8,24kg. a) On peut estimer la moyenne de la population à μ = 8,24 Kg b) L’intervalle de confiance du poids moyen des lapins au risque de 5% est [7,36 kg; 9,12kg] c) L’intervalle de confiance du poids moyen des lapins de la population étudiée aurait une amplitude maximum de 1kg pour n≥139 (seuil de confiance 95%) d) La loi Normale ainsi que la loi Binomiale sont des lois de probabilité continue e) La loi Normale peut être utilisée comme loi d’erreurs f) Toutes les réponses précédentes sont fausses. QCM n°11 :Intervalle de confiance Le poids(en mg) du principe actif d’un échantillon de 11 comprimés a été mesuré. Les valeurs obtenues sont les suivantes : 41 - 25 - 35 - 26 - 40 - 28 - 26 - 32 - 34 - 24 - 41 a) La moyenne de cet échantillon ( ) est égale à 32mg b) La variance de cet échantillon (s²) est égale à 43,99mg² c) Pour donner l’intervalle de confiance, on doit supposer que le poids suit une loi Binomiale d) La variance estimée de la population (S²) est égale à 6.63mg² e) Sous certaines hypothèses, l’intervalle de confiance de la moyenne de la population, au seuil de 95%, est égal à : [27,55; 36,45] 2010-2011

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f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°12 : Intervalle de confiance Un fournisseur d’un logiciel d’équipement d’officines, à la suite d’une enquête, note que sur les 150 pharmacies d’un département, 60 utilisent son logiciel. Quel est, au risque de 5%, l’intervalle de confiance de la proportion d’officines qui utilisent son logiciel ? a) [ 5 ;7] b) [ 0.4 ; 0.6 ] c) [ 0.45 ; 0.48 ] d) [ 0.4216 ; 0.5784 ] e) Impossible à calculer. f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°13 : Les lois de Student, Fischer, chi-deux a) Ces trois lois sont déduites de la loi binomiale b) Ces lois sont utilisées dans les tests statistiques c) Les tables du chi-deux dépendent uniquement du degré de liberté d) Les tables de Fischer donnent les quartiles e) L’espérance d’une loi de Student est égale à 1 f) Toutes les réponses précédentes sont fausses QCM n°14 :Densité de Probabilité Soit f(x) définie par :

f ( x)

0 si x 0 1 x si x 2 0 si x 1

0,1

a)

La fonction f(x) est continue sur ℝ

b) c) d) e) f)

La fonction f(x) 0 quelque soit x appartenant à ℝ La valeur de l’intégrale entre – ∞ et + ∞ de la fonction f(x) est égale à 2 La fonction f est une densité de probabilité La fonction est croissante sur [0,1] Toutes les réponses précédentes sont fausses

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