¨ Ubungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner ¨ Ubungsleiter: Jens Repp / Eric Parzinger Kontakt:
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[email protected] Blatt 2, Besprechung: 23.04.2014 / 30.04.2014
Aufgabe 2.1: Wiederholung: komplexer Brechungsindex Die komplexe Permittivit¨at ˜ kann durch das Drude- Modell und das Lorenz- Modell beschrieben werden. Erl¨autern Sie, ausgehend von den Bewegungsgleichungen, die Unterschiede zwischen den beiden Theorien. L¨ osung Der Brechungsindex n0 ist eine komplexe Funktion mit einem Realteil n und einem Imagin¨arteil κ: n0 = n − iκ Im folgenden soll der komplexe Brechungsindex an der Grenzfl¨ache eines Metalls betrachtet werden. Dazu wird der Wellenvektor k mit Hilfe der Dispersionrelation k = ωc n0 = ω (n − iκ) ausgedr¨ uckt. F¨ ur eine ebene einlaufende Welle gilt: c E = E0 exp[i(ωt − kr)] (n − iκ))] E = E0 exp[i(ωt − ωr c ωr κ] E = E0 exp[i(ωt − c n)] exp[− ωr c Neben dem Schwingungsterm mit komplexer Exponentialfunktion gibt es zus¨atzlich noch einen Term mit reeller, negativer Exponentialfunktion. Die elektromagnetische Welle nimmt exponentiell ab, wenn sie auf ein Medium mit komplexem Brechungsindex trifft. Der Imagin¨arteil κ ist f¨ ur die Absorption verantwortlich. Der Brechungsindex ist die Wur√ zel der Dielektrischen Funktion n = . Diese soll nun an Hand der Bewegungsgleichung f¨ ur ein Elektron hergeleitet werden: Im Lorenzmodell wird angenommen, dass ein an den Atomkern gebundenes Elektron von der einfallenden elektromagnetischen Welle zur Schwingung angeregt wird. Die Bewegungsgleichung beschreibt dabei einen getriebenen, harmonischen Oszillator: 2
m ddt2x + mγ dx + mω02 x = −eE0 exp (iωt) dt ¨ Daraus kann die dielektrische Funktion abgeleitet werden (siehe Aufgabe 1.2 auf Ubungsblatt 1):
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(ω) = 1 +
nV e2 1 0 m (ω0 −ω 2 )−iγω
In der nachfolgenden Figur ist jeweils der Realteil und der Imagin¨arteil der Dielektrischen Funktion gezeichnet:
Lediglich in der unmittelbaren N¨ahe einer Resonanzfrequenz ω0 (Also der Eigenfrequnz der gebundenen Elektronen) nimmt der Realteil der dielektrischen Funktion negative Werte und der Imagin¨arteil von Null verschiedene Werte an. Da der Brechungsindex die Quadratwurzel der dielektrischen Funktion ist, hat er daher nur in der N¨ahe einer Resonanzfrequenz einen Imagin¨arteil, d.h. dort tritt Absorption auf. Im Drude-Modell werden frei bewegliche, nicht an einen Kern gebundene Elektronen angenommen, wie sie typischerweise in Metallen vorkommen. In der Bewegungsgleichung kann daher der lineare Term, der die R¨ uckstellkraft der Atomkerne ber¨ ucksichtigt, vernachl¨assigt werden. Die dielektrische Funktion nimmt dann folgende Gestalt an (siehe ¨ Aufgabe 1.2 auf Ubungsblatt 1): (ω) = 1 −
nV e2 1 0 m ω(ω+iγ)
wobei ωp =
q
=1−
ωp2 ω(ω+iγ)
nV e2 0 m
als Plasmafrequenz bezeichnet wird. Unter Vernachl¨assigung der q 2 √ D¨ampfung (γ = 0) gilt n = = 1 − ωωp . Der Brechungsindex h¨angt somit von der Plasmafrequenz ab. F¨ ur ω < ωp wird der Brechungsindex rein imagin¨ar, d.h. R → 1, die Reflektion wird maximal. F¨ ur ω > ωp wird der Brechungsindex reel, es findet keine Absorption mehr statt und die Reflektion nimmt ab. In Metallen sind sowohl gebundene als auch freie Elektronen vorhanden. Reflektion und Absorption sind durch die Frequenz der einfallenden elektromagnetischen Welle bestimmt. F¨ ur Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz kann die Reflektion durch das Hagen-Rubens-Gesetz angen¨ahrt werden (siehe ¨ Aufgabe 1.2 auf Ubungsblatt 1). Oberhalb der Plasmafrequenz werden Metalle transparent. Absorption tritt bei bestimmten Resonanzfrequenzen auf. In der nachfolgenden Abbildung ist ein typisches Reflektionsspektrum f¨ ur ein Metall gezeigt.
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Aufgabe 2.2: λ/2 - Platte F¨ ur eine λ/2 - Platte verwendet man einen doppelbrechenden Kristall, der so geschnitten ist, dass die optische Achse parallel zur Oberfl¨ache und senkrecht zur Ausbreitung des Lichts liegt. Es soll aus einem Quarzkristall no = 1, 5442, ne = 1, 5533 eine λ/2-Platte f¨ ur λ = 530nm hergestellt werden. Der Unterschied des optischen Weges der Platte sei gegeben als ∆l = d(n0 − ne ) mit Dicke d und den Brechungsindizes n0 und ne . (a) Wie dick muss der Quarzkristall geschnitten werden, wenn der Gangunterschied zwischen ordentlichem und außerordentlichem Licht λ/2 betragen soll? (b) Wie dick muss ein Kalkspatkristall (no = 1, 658, ne = 1, 486 ) geschnitten werden, um daraus eine λ/2-Platte herzustellen? Warum werden in der Praxis λ/2-Platten nicht aus Kalkspat hergestellt? (c) Bei welchem Winkel zwischen optischer Achse und Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts wird die Polarisationsrichtung um 90◦ gedreht? (d) Wie kann die Drehung der Polarisationsrichtung um willk¨ urliche Winkel (6= 90◦ ) erreicht werden? L¨ osung Doppelbrechende Materialien haben die Eigenschaft, ein Lichtb¨ undel in zwei senkrecht zueinander polarisierte Teilb¨ undel zu trennen. F¨allt unpolarisiertes Licht senkrecht auf ein doppelbrechendes Material, so gibt es neben dem ordentlichen Strahl, der entsprechend des Snelliusschen Brechungsgesetz nicht gebrochen wird, noch einen außerordentlichen Strahl, der auch bei senkrechtem Einfall an der Grenzfl¨ache gebrochen wird. Doppelbrechende Materialien besitzen f¨ ur unterschiedliche Polarisation und Richtung der einfallenden elektromagnetischen Welle einen unterschiedlichen Brechungsindex. Es gibt daher 3
zwei unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten: eine zur optischen Achse senkrechte Ausbreitungsgeschwindigkeit v⊥ und eine zur optischen Achse parallele vk .
Die Polarisationsebene ist nun ausschlaggebend, ob der Strahl gebrochen wird oder nicht. Die Bei Licht, das parallel zur Zeichenebene polarisiert ist (Figur oben rechts), bilden die Elementarwellen entsprechend des Huygensschen Prinzips aufgrund der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten Rotationsellipsoide. Die resultierende Wellenfront wird gegen¨ uber der einfallenden Wellenfront gebrochen. Ist das licht senkrecht zur Zeichenebene polarisiert gibt es keine unterschiedlichen Brechungsindizes, die Elementarwellen sind Kugelwellen, der Strahl wird nicht gebrochen und gehorcht dem Snelliusschen Brechungsgesetz. Die Brechungsindizes k¨onnen aus den Ausbreitungsgeschwindigkeiten berechnet werden: nao = vck no = vc⊥ Doppelbrechende Materialien werden f¨ ur Verz¨ogerungsplatten verwendet. Hier sind die Kristalle so geschnitten, dass die optische Achse parallel zur Oberfl¨ache und senkrecht zur Ausbreitung des Lichts liegt. Außerordentlicher und ordentlicher Strahl werden in diesem Fall nicht gebrochen. Die unterschiedlichen Brechungsindizes f¨ uhren jedoch zu unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten entsprechend ihrer Polarisationsebene. Die Schwingungsebene, in der die Ausbreitungsgeschwindigkeit am gr¨oßten ist, wird schnelle Achse, die Ebene senkrecht dazu als langsame Achse bezeichnet. Parallel zur schnellen Achse polarisiertes Licht durchl¨auft den Kristall schneller als Licht, das senkrecht dazu polarisiert ist.
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Einfallendes Licht kann nun entsprechend der obigen Zeichnung in zwei linear polarisierte Komponenten parallel und senkrecht zur optischen Achse aufgeteilt werden. Nach dem beide Wellen die Verz¨ogerungplatte durchlaufen haben, weisen sie eine Phasenverschiebung zueinander auf: ∆l = d · (nlangsam − nschnell ) ∆ϕ = 2π · d · (nlangsam − nschnell ) Die beiden Wellen u ¨berlagern sich hinter dem Kristall λ ¨ (Interferenz) zum ausgehenden Licht. Durch die (koh¨arente) Uberlagerung dieser beiden Wellen ergibt sich eine neue Polarisation des Lichtes (a) Damit der optische Wegunterschied zwischen ordentlichem und außerordentlichen Strahlt genau λ/2 betr¨agt muss gelten: ∆l = d(n0 − ne ) = →d=
λ 2
λ /(n0 − ne ) = 530nm/(1, 5533 − 1, 5442) = 2, 912 · 10−5 m 2
(b) F¨ ur die Dicke eines Kalkspatkristalls gilt analog λ d = | /(n0 − ne )| = |530nm/(1, 486 − 1, 657)| = 1, 54068 · 10−6 m 2 Durch den großen Unterschied der Brechungsindizes von ordentlichem und außerordentlichen Strahl ergeben sich sehr kleine Schichtdicken, die technisch sehr aufwendig herzustellen sind. Daher werden bevorzugt Materialien verwendet, deren Brechungsindizes sich nur geringf¨ ugig unterscheiden. (c) Entsprechend der Figur oben kann Licht, das unter einem Winkel α zur optischen Achse polarisiert ist, in Komponenten senkrecht und parallel zur optischen Achse aufgespalten werden. Nach dem der Lichtstrahl die λ/2-Platte durchlaufen hat, ist der 5
ordentliche Strahl gegen¨ uber dem außerordentlichen Strahl um λ/2 verz¨ogert, was einem Phasenunterschied von π entspricht. Dadurch ¨andert sich f¨ ur eine Komponente des elektrischen feldes, z.B. E⊥ das Vorzeichen. Dadurch ¨andert sich die Polarisationsrichtung des auslaufenden E-Feldes gegen¨ uber des einlaufenden Feldes um 2α. Um eine Drehung der Polarisationsrichtung von 90◦ zu erreichen muss der Winkel zwischen Polarisationsrichtung und einfallender Achse α = 90◦ /2 = 45◦ betragen. (d) wie oben beschrieben wird die Polarisationsrichtung des ausfallenden Lichts gegen¨ uber der Polarisationsrichtung des einfallende Licht um 2α gedreht. Durch geeignete Wahl von α ist somit jede beliebige Polarisationsrichtung m¨oglich.
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