Umeå universitet Institutionen för matematik och

Ume˚ a universitet Institutionen f¨ or matematik och matematisk statistik PAB/BMS ht09 Instuderingsfr˚ agor inf¨ or delprov 1 p˚ a matematikens historia

¨ 1. Redog¨or f¨ or de ¨ aldsta k¨ anda bruken av talsymboler i Mellersta Ostern. Fr˚ an vilken tid h¨arstammar dessa och vad var anledningen till att de togs i bruk? 2. N¨ar b¨orjade man rista in skriften p˚ a lertavlor? Fr˚ an vilka omr˚ aden har man funnit s˚ adana lertavlor? Var ligger dessa platser idag? 3. Redog¨or f¨ or kilskriften. N¨ ar uppstod bruket? Vilka st¨orre spr˚ ak f¨orekom i det ¨aldre Babylonien? 4. Visa n˚ agra exempel p˚ a talsymboler och redog¨or f¨or det system som anv¨andes vid talskrift p˚ a kilskriftstavlorna. 5. Skriv talet 154 i det system som anv¨andes vid hieroglyfskrift. 6. Visa hur man i det gamla Egypten, med successiv f¨ordubbling, ber¨aknade produkten 23 · 17 respektive 17 · 23 7. Redog¨or f¨ or egyptiernas inf¨ orande av br˚ ak. Hur uttrycktes br˚ aken? Ge exempel p˚ a r¨akning med br˚ ak enligt egyptiernas system. 8. Tv˚ a k¨allor framst˚ ar som mest betydelsefulla f¨or v˚ ar kunskap om matematiken i det gamla Egypten, vilka? 9. Viken typ av geometrikunskaper hade de gamla egyptierna? 10. Redog¨or f¨ or Thales fr˚ an Miletos-n¨ ar han levde, hans f¨orh˚ allande till matematik och filosofi. 11. Vad vet vi om Pythagoras? 12. Redog¨or f¨ or Zenons paradoxer. 13. Utvecklingen av den grekiska matematiken ledde fram till problem och ifr˚ agas¨attande inom geometri och taluppfattning. Vad g¨allde det? 14. Ber¨atta n˚ agot om Platons filosofi och hans syn p˚ a matematiken. 15. Vilket system hade grekerna f¨ or att ange tal? Visa ett exempel. 16. Ge tv˚ a exempel p˚ a slutledningsregler i Aristoteles logik. Jfr Kay, kap. 2.1. 17. Det stora verk som kallas Elementen brukar tillskrivas Euklides. Ber¨atta kort om dess historia och hur det har fortlevt till v˚ ara dagar. 18. Ge exempel p˚ a tre definitioner i Elementen, bok 1. 19. Redog¨or f¨ or olika syn p˚ a parallellpostulatet under antik tid. 20. Redog¨or f¨ or l¨ osningen p˚ a problemet Att p˚ a en given r¨ at linje konstruera en liksidig triangel. 21. Genomf¨ or det ”element¨ ara “ beviset f¨or Pythagoras sats enligt Euklides.

22. Varf¨or utgjorde Herons formel f¨ or arean av en triangel med sidorna a, b, c, p A = p(p − a)(p − b)(p − c), d¨ar p = (a + b + c)/2 en sv˚ arighet f¨or grekerna? 23. Ge exempel p˚ a tre satser som f¨ orekommer i Elementen och som brukar f¨orekomma i matematikkurserna ¨ aven idag. 24. Ange definitionen p˚ a likformighet som den uttrycks i Elementen bok 6. Ge exempel p˚ a en sats som bevisas i bok 6. 25. Ber¨atta om Apollonius-n¨ ar och var han levde samt n˚ agot om den matematik han utvecklade. 26. Vilka typer av k¨ agelsnitt finns det? Visa med figurer hur de olika fallen uppkommer. Se ocks˚ a Kay, kap. 7.3. 27. Ber¨atta om Arkimedes -n¨ ar och var han levde samt ge n˚ agra exempel p˚ a omr˚ aden inom vilka han verkade och vad han utr¨ attade d¨ar. 28. I verket Om sf¨ aren och cylindern visar Arkimedes tre stora satser. Ange inneb¨orden av minst tv˚ a av dessa satser. 29. Redog¨or f¨ or Arkimedes metod att f˚ a fram n¨armev¨arden till π. Diskutera Arkimedes metod i f¨orh˚ allande till dagens integralkalkyl. 30. Trigonometrin under antiken grundades p˚ a en funktion som ¨ar besl¨aktad med de nuvarande trigonometriska funktionerna. Illustrera med en figur den geometriska betydelsen av denna funktion och hur den f¨ orh˚ aller sig till nuvarande trigonometri. 31. Vad inneh¨ oll den bok som kallas Almagest? Vem skrev den, n¨ar skrevs den och vad anv¨andes den till? 32. Ber¨atta om Claudios Ptolemaios, n¨ar och var han levde samt vad han utr¨attade inom matematiken. 33. N¨ar och var levde Diophantos? Vilka typer av ekvationer studerade han?