UNIVERSITÉ DE BRETAGNE-SUD

U NIVERSITÉ DE B RETAGNE -S UD ENSIBS : Modélisation Aléatoire

Travaux dirigés 1

Exercice 1 – Soit X une variable aléatoire positive de loi de densité f . Montrer que : Z

E( X ) =

+∞

0

P ( X > x) dx.

Exercice 2 – Soit X et Y , deux variables aléatoires indépendantes. On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre λ et que Y est de loi quelconque de densité f Y . 1. Montrer que : P ( X > Y ) = E [ e−λY ]. 2. En déduire que la loi de X − Y sachant que X > Y est une loi exponentielle de paramètre λ. Exercice 3 – Le produit de convolution de deux fonctions réelles f et g est défini par : Z+∞ Z+∞ ( f ∗ g)( x) = f ( x − y) g ( y) d y = f ( y) g( y − x) dx. −∞

−∞

Soit X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes de loi de densité respective f 1 et f 2 . Montrer que la densité de la loi de S = X 1 + X 2 est le produit de convolution de f 1 et f 2 . Exercice 4 – Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre respectif λ1 , λ2 . 1. Montrer que X + Y est une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre. 2. Montrer que la loi conditionnelle de X sachant X + Y est binomiale. Exercice 5 – Soit X 1 , X 2 , · · · , X n n variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre λ. Quelle est la loi de Y = X 1 + · · · + X n ? Exercice 6 – Le nombre X d’électrons émis par un corps radioactif durant une période donnée suit une loi de Poisson de paramètre λ :

P ( X = n) =

λn

n!

e − λ , n ∈ N, λ > 0

Chacun des électrons, indépendamment des autres, a une probabilité p d’avoir un effet biologique (0 < p < 1). On note Z le nombre d’électrons ayant un effet biologique, émis par l’élément radioactif (durant la période donnée). 1. Quelle est la probabilité que, parmi n électrons émis durant la période donnée, k aient un effet biologique ; autrement dit, quelle est l’expression de P ( Z = k | X = n) ? 2. En déduire la loi de Z . Exercice 7 – Soit Y une v.a. de loi de Poisson de paramètre λ > 0 et X une v.a. telle que la loi de X conditionnée par {Y = y} est binomiale de paramètre ( y, p) avec 0 < p < 1. 1

Modélisation Aléatoire – TD 1

ENSIBS

1. Montrer que la loi de X est une loi de Poisson de paramètre λ.p. 2. Montrer que la loi de Y − X est une loi de Poisson de paramètre λ (1 − p). 3. Les v.a. X et Y − X sont-elles indépendantes ? Exercice 8 – Soit X , une variables aléatoire de loi géométrique de paramètre p définie par :

P ( X = x) = (1 − p) x .p , 0 < p < 1 , x ∈ N. 1. Calculer l’espérance mathématqiue de X . Retrouver ce résultat en calculant la fonction génératrice des moments de X . 2. Soit Y , une seconde variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p indépendante de X . Calculer la fonction génératrice des moments de X + Y . 3. Soit Z une variable aléatoire de loi binomiale négative de paramètre ( n, θ ) :

P ( Z = z) = C nz + z−1 θ n (1 − θ ) z , z ∈ N , 0 < θ < 1. Montrer que la fonction génératrice de Z a pour expression : · ¸n θ g Z ( t) = 1 − (1 − θ ) e t 4. En déduire la loi de X + Y . Généraliser. Exercice 9 – Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λ un réel positif. On rappelle l’expression de la densité :

f X ( x) = λ exp{−λ x} , x ∈ R+ . Montrer que X perd la mémoire ; c’est-à-dire que :

P ( X > x1 + x2 | X > x1 ) = P ( X > x2 ). Peut-on en dire de même si X suit une loi de Weibull de paramètre (α, β) ? Exercice 10 – Soit Z une variable aléatoire distribuée suivant une loi Gamma de paramètres (α, β) : βα α−1 −β z f Z ( z) = z e , z > 0 , α, β > 0 Γ(α) 1. Calculer la fonction génératrice de Z . 2. Soit X 1 , X 2 , · · · , X n , n variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ: f X i ( x) = λ exp{−λ x} , x > 0 , λ > 0 Calculer la fonction génératrice des moments des X i , i = 1, . . . , n. En déduire la loi de S n = Pn i =1 X i .

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