UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012

1

UNIVERSITÉ DE CERGY

Année 2012-2013

LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d’exercices N◦ 4 : Couples de Variables aléatoires discrètes

Exercice I Soient X et Y deux V.A. de Bernouilli. Soit p ∈ R tel que la loi conjointe de (X, Y ) est donnée par la tableau ci-dessous : Y

0

1

0

1/6 + p

1/3 − p

1

1/2 − p

p

X

Loi de X

Loi de Y 1. Quelles conditions doit vérifier p pour que ce tableau soit effectivement le tableau d’une loi conjointe ? 2. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ). 3. Calculer la covariance de (X, Y ) et le coefficient de corrélation entre X et Y . 4. Pour quelle(s) valeur(s) de p les V.A.R. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice II On tire simultanément 2 jetons d’une urne contenant 4 jetons numérotés de 1 à 4. Soit U le minimum des numéros et V le maximum. On suppose que les tirages sont équiprobables. 1. Déterminer la loi conjointe de U et V . 2. Déterminer les lois marginales de U et V . 3. Les V.A.R. U et V sont-elles indépendantes ?

Exercice III On lance deux fois de suite un dé bien équilibré. Soient X et Y le premier et le second numéro obtenus et soit U leur minimum. On suppose que les tirages sont équiprobables. 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ), la loi de X et celle de Y . 2. Déterminer la loi du couple (X, U ) et la loi de U . Les V.A.R. X et U sont-elles indépendantes ?

L2/S3 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

2

Exercice IV 1. Un dé bien équilibré A porte les nombres 1 sur 4 faces et (−2) sur les autres. Un dé B porte les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3. Ce dé est pipé de telle sorte que les pro1 babilités d’apparition des faces forment une progression géométrique de raison . Quelles 2 sont ces probabilités ? Soit X (respectivement Y ) la V.A.R. qui, à un lancer du dé A (respect. du dé B) associe le nombre obtenu. 2. On lance simultanément ces deux dés et on désigne par S la V.A.R. définie par S = |X +Y |. (a) Déterminer la loi conjointe du couple (X, S) (b) Quelle est la loi marginale de S ? (c) Les V.A.R. X et S sont-elles indépendantes ?

Exercice V 1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une V.A.R. X dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous : xi 0 1 2 pi 0, 1 0, 5 0, 4 Dans cette station, la probabilité qu’un client achète de l’essence est 0, 7 et celle qu’il achète du gasoil est 0, 3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants : • C1 : « en cinq minutes, un seul client se présente » • C2 : « en cinq minutes, deux clients se présentent » • E : « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence » (a) Calculer P(C1 ∩ E). (b) Calculer PC2 (E) puis P(C2 ∩ E). (c) En déduire la probabilité qu’en cinq minutes, un seul client achète de l’essence. 2. Soit Y la V.A. égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes. (a) Déterminer la loi de Y (b) Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ). (c) Les V.A. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice VI Une urne contient 100 jetons numérotés de 1 à 100. On tire avec remise 11 jetons et on appelle S la somme des numéros obtenus. Définir S(Ω) puis calculer son espérance et sa variance.

Exercice VII X1 et X2 sont deux V.A.R. qui suivent des lois de Bernouilli de paramètres respectifs p1 et p2 . Montrer que si X1 et X2 sont non corrélées (i.e. %(X1 , X2 ) = 0) alors elles sont indépendantes.

L2/S3 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

3

Exercice VIII Extrait Examen Décembre 2011 Une urne contient 5 boules : deux boules portent le numéro 0, deux boules portent le numéro 1 et la cinquième boule porte le numéro 2 : on notera les cinq boules : {B0 , B00 , B1 , B10 , B2 }. On tire simultanément deux boules de cette urne. On suppose que les tirages sont équiprobables. 1. Définir l’univers Ω associé à cette expérience aléatoire. Calculer CardΩ puis donner tous les éléments de Ω. 2. Soit X la V.A.R. qui prend pour valeurs la somme des deux numéros tirés et Y la V.A.R. qui prend pour valeurs le maximum des deux numéros tirés. (a) Donner dans un tableau la loi conjointe du couple (X, Y ) et les lois marginales de X et Y . (b) Calculer E(X), V (X), E(Y ) et V (Y ). (c) Soit Z = X.Y : donner la loi de Z. Calculer E(Z). (d) Déterminer la covariance du couple (X, Y ). En déduire V (X + Y ).

Exercice IX Extrait Examen juin 2012 On dispose de trois urnes, U1 , U2 et U3 . L’urne U1 contient 3 boules rouges et 3 boules blanches, l’urne U2 contient 2 boules rouges et 4 boules blanches, l’urne U3 contient 4 boules rouges et 2 boules blanches. On effectue deux tirages : • Premier tirage : on tire 3 boules simultanément de l’urne U1 . • Second tirage : on tire 3 boules simultanément d’une des deux autres urnes de la manière suivante : – si on a obtenu 0 ou 1 boule blanche lors du premier tirage, on effectue ce deuxième tirage dans U2 , – sinon, on effectue ce deuxième tirage dans U3 . On note X le nombre de boules blanches obtenues lors du premier tirage, Y le nombre de boules blanches obtenues lors du deuxième tirage et Z = X + Y le nombre total de boules blanches obtenues lors de cette expérience aléatoire. 1. Reconnaître la loi de probabilité de X, en donner les paramètres, puis représenter cette lois dans un tableau. Calculer E(X). 2. Donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U2 (i.e. X = 0 ou X = 1). De même, donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U3 . 3. Expliquer le calcul de P (X = 0 ∩ Y = 1). 4. Donner (dans un tableau) la loi du couple (X, Y ) et la loi de Y 5. Calculer E(Y ). 6. Déterminer la loi de probabilité de Z et calculer son espérance.

L2/S3 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion