Varf ¨or r¨aknar vi som vi g ¨or? Om v˚art

¨ raknar ¨ Varfor vi som vi ¨ Om vart ˚ talsystems gor? historia. ¨ en ´ Anders Kall Matematikcentrum, LTH

den h¨ ar artikeln ska vi diskutera v˚ art talsystem ur ett kulturhistoriskt perspektiv. Vi ska se hur man genom tiderna har f¨ ors¨ okt komma p˚ a hur man b˚ ade ska kunna beteckna tal, och r¨ akna med dem. Det var en l˚ ang process att komma dit vi ¨ ar idag, med ett positionssystem, som bl.a. innebar att man f¨ orstod betydelsen av nolla. Men det system vi har, med reella tal som o¨ andliga decimalutvecklingar, har sina filosofiska problem: vad menas med o¨ andligt m˚ anga decimaler? Kan man n˚ agonsin r¨ akna ut s˚ adana tal?

I

Introduktion Matematik var ingenting m¨ anniskan uppfann f¨or att j¨aklas med sm˚ a barn. Matematiken var n˚ agot som uppkom av n¨odv¨ andighet n¨ ar m¨ anniskor b¨ orjade bilda samh¨allen med specialiserade yrken. Att ¨overg˚ a fr˚ an att vara j¨agare-samlare till att bli bofast och odla marken innebar att man beh¨ ovde l¨ ara sig t¨anka fram˚ at och st¨alla fr˚ agor av typen: hur mycket s¨ad m˚ aste jag spara till n¨ asta uts¨ ade. N¨ ar ¨ ar det dags f¨or n¨asta s˚ aning? Tidigt utvecklades en speciell samh¨allsklass, pr¨ asterna, vars roll kanske framf¨or allt var att h˚ alla reda p˚ a˚ arstiderna, s˚ a att man visste n¨ar man skulle s˚ a, och n¨ ar det var dags att sk¨orda. Detta kr¨ avde att man studerade och beskrev himlavalvet1 . Sedan b¨ orjade man bygga de stora monumenten (som pyramiderna i Egypten), med sina

b˚ ade rent ingenj¨orsm¨assiga problem, men ocks˚ a logistiska, problem, med att ge f¨oda och husrum till stora m¨angder av olika sorters arbetare. Men det var f˚ a som beh¨ovde kunna r¨akna, och tumregler var vanliga f¨or att l¨osa olika uppgifter. Nya utmaningar vid medeltidens slut ledde till ett behov av f¨orb¨attrade r¨aknemetoder. Med den gryende kapitalismen kom b˚ ade ett behov att kunna r¨akna med r¨anta p˚ a r¨anta och att kunna handla p˚ a l˚ anga avst˚ and. Fram tills 1400-talet hade man mest seglat i nord-sydlig riktning och utmed kuster, och d˚ a gick det att orientera sig n˚ agorlunda med hj¨alp av landm¨arken och solen. P˚ a de stora haven kr¨avdes n˚ agot nytt, och det blev navigering efter stj¨arnorna. Men det kr¨avde att kaptenen, eller n˚ agon annan, kunde r¨akna, f¨or att med hj¨alp av medtagna stj¨arnkartorna kunna positionsbest¨amma sig. En annan drivkraft var artilleriets intr¨ade i krigen, med l˚ angskjutande kanoner, vilket kr¨avde att man kunde ber¨akna laddning och vinkel f¨or att f˚ a r¨ att nedslagsplats. Eller i varje fall konstruera v¨agledande tabeller. I samband med detta b¨orjade man ocks˚ a m¨ata v¨arlden. Men under hela denna resa, fr˚ an det att m¨anniskan blev bofast till f¨or n˚ agra hundra ˚ ar sedan, var det komplicerat att r¨akna med de fyra r¨aknes¨atten. Man m˚ aste skilja mellan att r¨akna och att dokumentera resultatet - allts˚ a skriva ner talen. R¨aknandet gjordes ofta med mekaniska hj¨alpmedel - kulramar och liknande - och resultatet skrevs sedan ner i olika symboler som anv¨andes som siffror. Men att r¨ akna

1

an 1662 med kulramar har sina begr¨ ansningar, fr.a. att man Box 1 Ur Samuel Pepys dagbok fr˚ bara kan h˚ alla sig inom ett visst talomr˚ ade. Men det F¨or att illustrerar statusen p˚ a multiplikation kan vi gjorde ocks˚ a r¨aknandet till en rent mekanisk aktivita f¨oljande utdrag ur Samuel Pepys dagbok fr˚ an ˚ ar tet, som kunde utf¨ oras utan att man beh¨ ovde f¨orst˚ a juli 1662. talens egenskaper. De f¨orsta som f¨ors¨ okte f¨ orst˚ a2 talen var grekerna. Grekerna var ett resande och handlande folk, som tog till sig av andra kulturers kunskap och dokumenterade den. I n˚ agon mening offentliggjorde de andras yrkeshemligheter. Men de var ocks˚ a ett diskussionsglatt folk, och inf¨orde ett nytt begrepp inom matematiken - beviset. N¨ ar en matematisk teknik togs hem beh¨ovde man kunna ¨ overtyga sina medm¨anniskor om att den fungerade3 . T.ex. k¨ ande b˚ ade babylonier och egypter till Pytagoras sats, den anv¨ andes till att konstruerar r¨ ata vinklar, men det var troligen grekerna som tyckte den beh¨ ovde ett bevis. Under hela denna tid, och l˚ angt fram¨ over, fanns det m˚ anga olika s¨att att r¨ akna p˚ a. Ofta r¨ aknade man olika saker p˚ a olika s¨ att (vi r¨ aknar t.ex. ¨ agg i tjog och tid och vinklar i 60-delar) och ofta gjordes dokumentationen av tal i form av bokst¨ aver (grekerna anv¨ande inte bara hela sitt alfabet, utan tv˚ a olika generationer av alfabet f¨or att dokumentera tal, romarna ett f˚ atal latinska bokst¨ aver, fr.a. I,V,X,L,M,D,C). Men p˚ a 600-talet spred sig ett nytt folk ¨ over v¨ arlden som, likt grekerna, var villiga att l¨ ara sig av de kulturer de kom i kontakt med (nu genom er¨ ovring ist¨allet f¨or handel) – araberna. Eller snarare muslimerna, eftersom vi pratar om spridningen av Koranen. Araberna var kanske det folk (f¨ orutom sumererna och babylonierna) som kom att ha mest betydelse f¨or den egentliga r¨aknekonsten4 . De h¨ amtade och organiserade d˚ atidens kunskap, och inf¨ orde i den processen det decimala talsystem vi idag anv¨ ander. Det var uppfunnet ett millenium tidigare av indier, och m¨ ojliggjorde tv˚ a fundamentala saker: alla tal, stora som sm˚ a, g˚ ar att beskriva med ett f˚ atal symboler, och det g˚ ar att faktiskt r¨akna med talen. Dock tog det l˚ ang tid, ¨anda fram till skarven mellan medeltid och nutid, innan detta s¨att att r¨akna hade slagit igenom i stor skala i Europa.

“Den 4de. Snart kommer mr Cooper, som ¨ ar styrman p˚ a Royal Charles och som jag ¨amnar l¨ara mig matematik av. Jag skall b¨orja idag med honom, eftersom han ¨ar en mycket duktig karl och jag f¨ormodar att han l˚ ater sig n¨ oja med ganska litet. Efter en timmes samvaro med honom och sysslande med aritmetik (det f¨orsta jag griper mig an med ¨ar multiplikationstabellen) skildes vi ˚ at till i morgon. Den 9de. Upp klockan fyra och l¨aste flitigt p˚ a min multiplikationstabell, som ¨ar det sv˚ araste jag st¨ott p˚ a i aritmetiken.” Samuel Pepys ¨ar f¨or oss kanske mest k¨and som f¨orfattaren till en av alla tiders mest fascinerande och avsl¨ojande dagb¨ocker. N¨ar han skrev passusen ovan var han 29 ˚ ar gammal och hade bakom sig en god utbildning fr˚ an bland annat universitetet i Cambridge och han var i b¨orjan av en karri¨ar som slutligen skulle f¨ora honom till h¨oga poster i det engelska samh¨allet, d¨ar han bland annat kom att organisera den engelska flotta som sedan kom att beh¨arska haven i ˚ arhundraden.

˚ Smastensaritmetik

Det vi kallar de naturliga talen, allts˚ a 1, 2, 3, . . ., anv¨andes troligen fr˚ an b¨orjan f¨or att besvara fr˚ agan “Hur m˚ anga?”. Fr˚ agan i sig sj¨alv kr¨aver ett abstrakt t¨ankande som m˚ anga tror skiljer oss fr˚ an andra djur: vi kan se att fem kor och fem hundar har den gemensamma egenskapen att de ¨ar fem till antalet. Vill vi skriva ner detta abstrakta tal, kan vi illustrera det med 5 streck. M¨anniskan har troligen betecknat tal med streck ganska l¨ange, a ¨ven om hon kanske inte f¨orstod det abstrakta begreppet. 1960 hittade man i Ishango i Kongo en benbit som ¨ar 20 000 ˚ ar gammal som inneh˚ aller tre rader med skurna jack. Tv˚ a av raderna summerar sig till 60, det tredje till 48. Ett I denna artikel ska vi se lite p˚ a hur forna tiders s˚ adant ben kan knappast ha uppkomma av en slump, folk r¨aknade, vilka deras utmaningar var, i syfte att f¨orst˚ a det kraftfulla i v˚ art talsystem. Men vi ska men vad man kan ha r¨aknat kan vi bara gissa. ocks˚ a se vilka sv˚ arigheter det f¨ or med sig och vilka Artonhundratalsmatematikern Leopold Kronecker sa matematiska metoder som uppfanns f¨ or att bem¨astra en g˚ ang (p˚ a tyska) att de naturliga talen ¨ ar Guds dess sv˚ araste gren: multiplikation. Att r¨ akna sysslade verk, allt annat ¨ar m¨anniskoverk. De naturliga talen endast ett f˚ atal med, och speciellt inte fint folk, vilket finns oberoende av om vi har gett dem namn eller illustreras av Samuel Pepys dagbok i Box 1. Han inte. P˚ a samma s¨att finns de fyra r¨aknes¨atten oberohade studerat vid universitetet i Cambridge utan att ende av vilka namn vi gett de olika talen, eller hur kunna multiplicera! vi skriver dem. Vi kan utf¨ora ber¨akningar konkret

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 2 of 13

Box 2 Hur kilskriften troligen uppkom Det vi menar med skrift utvecklades f¨ or f¨orsta g˚ angen i Sumer fr˚ an fj¨ arde till andra ˚ artusendet f¨ ore Kristi f¨ odelse. Det f¨ orsta k¨ anda tecknen vi hittar ¨ ar lertecken som representerar varor man lagrat eller handlat. Fr˚ an b¨ orjan representerade en symbol t.ex. ett f˚ ar eller en viss m¨ angd s¨ ad, men strax d¨ok det upp symboler (t.ex. ett klot, en kon, en cylinder eller en pyramid) f¨ or att representera olika mycket av speciella saker (en kon var t.ex. en liten m¨angd s¨ad, medan ett klot var en stor m¨ angd s¨ ad). Antalet tecken gav den men mer exakta m¨ angden. Med tiden tillkom fler tecken, och efter ytterligare en tid en form av standardisering av dem, vilket gjorde dem v¨ al l¨ ampade f¨ or bokf¨ oring. Man kunde anv¨ anda en samling tecken f¨ or att dokumentera en lovad, framtida transaktion, eller lagra den i ett arkiv som ett bevis f¨ or en genomf¨ ord transaktion. Av s¨ akerhetssk¨ al, f¨ or att dessa symboler skulle kunna fungera som dokumentation f¨ or en transaktion, lade man tecknen fr˚ an b¨ orjan i en lerp˚ ase. F¨ or att slippa ¨ oppna p˚ asen n¨ ar man ville veta inneh˚ allet, markerade man symbolen ocks˚ a p˚ a utsidan av denna lerp˚ ase, ofta i f¨ orenklad form. Notera att eftersom olika symboler representera olika saker fanns ¨annu inte de abstrakta begrepp som tal representerar. Vid ungef¨ ar 3000 f.Kr. hade dessa markeringar utvecklats till ett komplicerat system av tecken med vars hj¨ alp man kunde registrerar stora m¨ angder varor. Under de f¨ oljande 500 ˚ aren kom kilskriften att utvecklas. Man hade d˚ a insett att lerp˚ asen var on¨odig, det r¨ ackte med symbolen p˚ a utsidan av den, och den kunde placeras p˚ a en lertavla: tecknen ristades i leran med ett skrivstift (stylus), varefter leran soltorkades eller br¨ andes.

med hj¨alp av en h¨ og sm˚ asten. Addition svarar mot att l¨agga ihop tv˚ a h¨ ogar, subtraktion mot att ta bort lika mycket som finns i en mindre h¨ og fr˚ an en st¨orre, multiplikation mot att g¨ ora flera lika stora h¨ogar och sedan l¨ agga ihop dem till en och, slutligen, svarar division mot att dela upp en given h¨og i ett antal lika stor h¨ogar (s˚ a l˚ angt som m¨ ojligt – det kan bli lite ¨over). Vi kallar detta s¨ att att “r¨ akna” f¨or sm˚ astensaritmetik. Po¨ angen med det ¨ ar att vi vill skilja sj¨alva de aritmetiska operationerna fr˚ an det s¨att vi beskriver tal p˚ a. Medan j¨agar-samlar folk s¨ akert inte hade n˚ agot egentligt behov av att r¨ akna i n˚ agon n¨ amnv¨ ard skala, f¨or¨andrades detta n¨ ar m¨ anniskan blev bofast och b¨orjade bygga samh¨ allen – det vi kallade civilisationen. N¨ar gemensamma resurser ska samlas in efter f¨orm˚ aga och f¨ordelas efter behov, n¨ ar skatt ska beta-

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

las f¨or att finansiera en icke-arbetande samh¨allsklass (t.ex. pr¨aster), n¨ar gemensamma byggprojekt ska genomf¨oras etc, beh¨over man b˚ ade kunna r¨akna och skriva ner resultatet. T.ex. beh¨ovde man veta hur mycket uts¨ade man beh¨ovde spara f¨or n¨asta ˚ ars sk¨ ord, och det i sin tur beror av hur stor areal som ska s˚ as. Kanske skrivkonsten just ur behovet att dokumentera tal, se Box 2. I praktiken dyker tal upp i tv˚ a olika skepnader: som antal och som m¨atetal. De f¨orra beskrivs med de naturliga talen, de senare m¨ater s˚ adana saker som hur l˚ angt n˚ agot ¨ar, eller hur stor en area ¨ ar. I det fallet handlar det om att j¨amf¨ora t.ex. en l¨angd med en standardl¨angd. Som bekant fanns det m˚ anga olika s¨att att m¨ata l¨angder p˚ a: aln, fot etc. Den stora skillnaden mellan antal och m¨atetal ¨ar att de f¨ orra alltid ¨ar exakta, de senare m¨ats bara till en viss precision. En verklig l¨angd ¨ar aldrig ett exakt tal utan bara m¨att p˚ a n˚ agon mm n¨ar, eller tusendels mm eller med n˚ agon annan os¨akerhet. Olika saker m¨attes dessutom ofta i olika enheter, s˚ asom s¨ ad i tunnor (ett tunnland a r en s˚ a stor area som skulle ¨ f˚ a en tunna s¨ad som uts¨ade) och honung i mark. Att t¨anka p˚ a tal som m¨atetal ger oss en annan bild av addition: som tv˚ a p˚ a varandra f¨orflyttningar. Om vi f¨orst f¨orflyttar oss a l¨angdenheter i en viss riktning och sedan ytterligare b l¨angdenheter i samma riktning, har vi totalt f¨orflyttat oss a + b l¨angdenheter i den riktningen. H¨ar ¨ar vi dock mest intresserade av hur man utf¨orde de olika r¨aknes¨atten p˚ a heltal, n¨ ar man inte hade hj¨alp av hur man skrev talen. L¨ agg m¨arke till att br˚ ak kan ¨overf¨oras till heltal genom att vi r¨aknar antalet delar: t.ex. ¨ar 5 27 detsamma som 37 sjundedelar. Sjundedelar ¨ar en sorts referensstorhet och talet som intresserar oss5 a¨r 37. Vi ska nu titta n¨armare p˚ a vad det inneb¨ar att multiplicera och dividera med metoder som ¨ar baserade p˚ a sm˚ astensaritmetik, men ¨ar mer effektiva ¨ an att flytta stenar. Men f¨or dessa illustrationer beh¨ over vi kunna namnge talen, och vi v¨aljer att g¨ora det p˚ a det s¨att vi ¨ar vana vid, i decimal form. Vi ska dock inte anv¨anda denna betecknings speciella egenskaper; vi kunde ha anv¨ant vilket beteckningss¨att som helst h¨ar. I det antika Egypten fanns en metod f¨or multiplikation som byggde p˚ a addition, men i form av f¨ordubblingar och halveringar. F¨or att illustrera metoden v¨aljer vi att multiplicera talen 35 och 174. Vi g¨or d˚ a s˚ a att vi bildar en serie med f¨ordubblingar av det ena talet, och en annan serie med halveringar av det andra (dessa operationer ¨ar relativt l¨ atta att

•epost: [email protected]

page 3 of 13

Box 3 Egyptisk multiplikation och division Den egyptiska metoden att multiplicera talen 35 och 174 kan beskrivas som i nedanst˚ aende tabell. Decimalt 174 35 348 17 696 8 1392 4 2784 2 5568 1

Rest 1 1 0 0 0 1

Bin¨ art 10101110 101011100 1010111000 10101110000 101011100000 1010111000000

100011 10001 1000 100 10 1

De tv˚ a kolonnerna till v¨ anster visar hur det ser ut i v˚ ara vanliga, decimala, tal. F¨ orst f¨ ordubblingsserien, sedan halveringsserien. Den tredje kolonnen visar vilken rest vi f˚ ar vid halvering. Om vi l¨ aser denna nerifr˚ an och upp har vi f˚ att den bin¨ ara beskrivningen av talet 35: 35 = 32 + 2 + 1 = 100011 i bin¨ art talsystem. Det vi har ¨ ar allts˚ a att 174 · 35 = 174(25 + 2 + 1) = 25 · 174 + 2 · 174 + 174 = 5568 + 348 + 174. Bin¨ art ¨ ar detta oerh¨ ort enkelt. F¨ ordubbling inneb¨ar att l¨ agga till en nolla i slutet, och halveringssekvens beh¨ over inte utf¨ oras eftersom den bin¨ ara framst¨ allningen av 35 redan talar om vilka tal som ska adderas, n¨ amligen

g¨ora i huvudet). I det senare fallet sl¨anger vi bort alla rester. I v˚ art fall f˚ ar vi de tv˚ a sviterna halvering: 35 17 8 4 2 1 f¨ordubbling: 174 348 696 1392 2784 5568 Sedan stryker vi de kolonner i vilka halveringssekvensen ¨ar ett j¨amnt tal (vilket ¨ar de st¨allen d¨ar vi inte fick n˚ agon rest vid halveringen). Kvar f˚ ar vi d˚ a 35 174

17 348

1 5568

varefter vi summerar de kvarvarande talen i f¨ordubblingsserien: 174 + 348 + 5568 = 6090. F¨orklaringen f¨or varf¨or detta fungerar finns i Box 3. Denna metod anv¨andes p˚ a den ryska landsbygden till l˚ angt in p˚ a 1900-talet f¨or multiplikation. Att skriva resultatet f¨or division var l¨ange sv˚ art. I m˚ anga kulturer fanns beteckningar f¨or vissa speciella br˚ ak, men inte alla. I Egypten skrev man t.ex. alla br˚ ak som en summa av s.k. stambr˚ ak, typ 18/35 = 1/2 + 1/70; varje term i h¨ogerledet skulle ha ett i t¨aljaren (s˚ a man skrev inte ut den). Ett problem var att det bara fanns beteckningar f¨or ett f˚ atal stambr˚ ak, s˚ a alla br˚ ak gick inte att skriva.

= 1011111001010,

Det har l¨ange funnits ett annat s¨att att beskriva br˚ ak p˚ a, som ¨ar naturligt eftersom det egentligen ¨ ar helt oberoende av hur man betecknar tal. L˚ at oss som exempel dividera 1954 med 181. Det f¨orsta vi g¨or ¨ar att se efter hur m˚ anga g˚ anger 181 g˚ ar i 1954 och vilken rest vi f˚ ar. I modern notation har vi att 1954 = 10 · 181 + 144, vilket betyder att

vilket a¨r den bin¨ ara framst¨ allningen av det decimala talet 6090.

1954 144 1 = 10 + = 10 + 181 . 181 181 144

Division gick till p˚ a ett motsvarande s¨ att. I v˚ ara beteckningar, om vi ska dividera 368 med 35, skriver vi f¨ orst upp f¨ ordubblingssviten f¨ or 35 tills vi f˚ ar ett tal som ¨ ar st¨ orre ¨ an 368. Den ¨ ar 35, 70, 140, 280. Vi har nu f¨ oljande tv˚ a sviter:

G¨or nu samma operation med 181 och 144, vilken ¨ ar 188 = 144 + 37. Det f¨oljer att 188/144 = 1 + 37/144 och stoppar vi in det ovan f˚ ar vi en likhet till:

1010111000000 + 101011100 + 10101110

1 35

2 70

22 140

23 280

Vi vill nu se hur vi kan skriva 368 som en summa av talen i den andra sviten. Vi subtraherar nu 280 fr˚ an 368 och f˚ ar 88. N¨ asta tal fr˚ an sviten som vi nu kan subtrahera ¨ ar 70, och kvar blir d˚ a 18. Allts˚ a: 368 = 280+70+18, vilket betyder att heltalsdelen ¨ ar 8+2 = 10 och resten 18. Notera att divisionsproblemet ¨ar att hitta l¨ osningen p˚ a ekvationen 35x = 368, och det man g¨ or ¨ ar att skriva ut x bin¨ art och identifiera vilka potenser av tv˚ a som ska vara med.

1954 144 1 1 = 10 + = 10 + 181 = 10 + 37 . 181 181 1 + 144 144 Om vi forts¨atter p˚ a den inslagna v¨agen f˚ ar vi 1

10 + 1+

1 3+

1

= 10 +

1

3+ 1

= 10 + 1+

4 33

1 1+

•epost: [email protected]

1+ .

1 3+

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

1

1+

33 37

1 8+

1 4

page 4 of 13

Box 4 Euklides algoritm och diofantiska ekvationer Om a och b ¨ar tv˚ a naturliga tal, betecknar vi med (a, b) den st¨ orsta gemensamma n¨ amnaren. Detta ar det st¨ orsta tal som ¨ ar s˚ adant att dividerar vi a ¨ och b med detta, s˚ a blir det ingen rest (divisionen g˚ ar j¨ amnt upp). Denna best¨ ams genom Euklides algoritm, som vi kan illustrera genom att ber¨akna (1954, 181). De r¨ akningar vi gjorde n¨ ar best¨amde kedjebr˚ aket f¨ or 1954/181 visar att 1954 = 10 · 181 + 144; 144 = 3 · 37 + 33;

181 = 144 + 37;

37 = 33 + 4;

33 = 8 · 4 + 1

Fr˚ an den f¨ orsta divisionen ser nu talet (1954,181) delar ¨ aven 144, vilket vi kan skriva (1954, 181) = (181, 144). Den andra ekvationen visar sedan att (181, 144) = (144, 37). Forts¨ atter vi ser vi att (1954, 181) = (181, 144) = (144, 37) = (37, 33) = (33, 4) = 1. Den st¨ orsta gemensamma delaren ¨ ar allts˚ a 1. Man s¨ager d˚ a att talen ¨ ar relativt prima. En intressant observation ¨ ar att vi nu kan g˚ a bakl¨ anges i detta: 1 = 33 − 8 · 4 = 33 − 8 · (37 − 33) = 9 · 33 − 8 · 37 = 9(144 − 3 · 37) − 8 · 37 = 9 · 144 − 35 · 37 = 9 · 144 − 35(181 − 144) = 44 · 144 − 35 · 181 = 44(1954 − 10 · 181) − 35 · 181 = 1954 · 44 − 181 · 475. Det betyder att vi har hittat en heltalsl¨ osning till ekvationen 1954x + 181y = 1, n¨ amligen x = 44, y = −475. En ekvation p˚ a formen ax + by = c, d¨ar a, b, c ¨ ar heltal, till vilken vi s¨ oker heltalsl¨ osningar x, y, kallas en linj¨ ar diofantisk ekvation, och vi har just l¨ art oss hur man hittar en l¨ osning n¨ ar c ¨ar en multipel av (a, b). Om s˚ a inte ¨ ar fallet finns inga l¨osningar.

Ett s˚ adant uttryck kallas ett kedjebr˚ ak, och a ¨r ett alternativt s¨att att skriva ett br˚ ak. Vi ser att det ¨ar konstruerat av den typ av stambr˚ ak som egypterna anv¨ande. Metoden visar att varje rationellt tal kan skrivas som ett (¨ andligt) kedjebr˚ ak.

˚ talsystem Uppkomsten av vart Att dokumentera stora tal med individuella streck ¨ar omst¨andligt. F¨or snabbare identifiering av talet ¨ar det d¨arf¨or naturligt att gruppera strecken, och ge grupperna speciella symboler. Detta har gjorts p˚ a olika s¨att i olika kulturer, men det vanligaste har varit att grupperingarna har h¨angt ihop med v˚ ara h¨ander, vanligtvis i 10-tal eller, som hos romarna, i 5-tal6 . Sumererna och Babylonierna hade tv˚ a tecken: ett f¨or ett och ett f¨or 10. Egyptierna hade symboler f¨or talen 1 (ett papyrusblad), 10 (en b˚ age bildad av ett dubbelvikt blad), 100 (en repslinga), 1000 (lotusblomma), 10 000 (orm), 100 000 (grodlarv) och 1 miljon (en skrivare med armarna upp˚ atstr¨ ackta). Grekerna anv¨ande i princip sitt vanliga alfabet, och det romerska systemet med I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 och M=1000 ¨ar v¨alk¨ant. Man skrevs sedan ett tal genom att man upprepade antalet tecken ett visst antal g˚ anger. Romarna skrev v˚ art tal 505 som DV, medan det f¨or egyptierna var 5 b˚ agar med dubbelvikta blad och 5 papyrusblad. Att skriva talen med symboler p˚ a detta s¨ att har tv˚ a konsekvenser: (1) man beh¨over andra medel f¨ or att g¨ora ber¨akningar och (2) man kan i praktiken bara beskriva tal inom ett visst omr˚ ade. Det beror p˚ a att skrivs¨attet egentligen inte skiljer sig fr˚ an sm˚ astensaritmetikens s¨att att beskriva ett tal: visa upp det antal stenar som definierar talet. F¨ or att r˚ ada bot p˚ a detta beh¨ovs n˚ agra revolutionerande id´eer. Den f¨orsta av dessa id´eer fanns redan hos dem som uppfann tal i skrift: babylonierna och deras f¨oreg˚ angare sumererna. Visserligen anv¨ande de olika s¨att f¨or att r¨akna olika saker, men vissa av dessa r¨aknades i grupper om 60. Man hade visserligen bara symboler f¨or 1 och 10, man grupperade resultatet s˚ a att man kunde skriva mycket st¨orre tal. Vad man v¨asentligen gjorde var att skapa fack, och l˚ ata facken beteckna en-tal, 60-tal, 3600-tal etc. Men man hade ingen referenspunkt, s˚ a man visste inte om 35 (skrivet i kilskrift) betydde 3 · 60 + 5 = 185, eller 3 · 602 + 5 · 60 = 11100, eller kanske t.o.m. 3 + 5/60. Sammanhanget fick avg¨ora vilket som l˚ ag vid handen. Dock f¨orekom ibland en lucka f¨or att illustrera, vad vi skulle skriva, 305, en lucka som dock m˚ aste varit l¨att att missa vid avl¨asning.

R¨akningarna vi just genomf¨ ort kan ocks˚ a anv¨andas till att best¨amma det st¨ orsta tal som delar b˚ ade 1954 och 181 (och visar att detta ¨ ar ett). Detta diskuteras N¨ar det babylonska s¨attet att skriva tal exporterades utvecklades det i olika riktning i v¨aster och i ¨ oster. I i Box 4 v¨ast blev det till bokstavssystem, d¨ar man tog fasta p˚ a hur upprepning av symboler beskriver ett tal.

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 5 of 13

N˚ agot f¨orenklat kan man s¨ aga att medan man i v¨ast tog fasta p˚ a systemet att l˚ ata olika symboler beteckna olika antal, tog kineserna mer fasta p˚ a positionsaspekten av s¨attet att skriva. Fast vad man egentligen gjorde var att bygga en motsvarighet till kulram som i all sin enkelhet kom att f˚ a revolutionerande begreppsm¨assiga konsekvenser. R¨ aknebr¨ adet ifr˚ aga var gjort av tr¨a och rutat som ett stort schackbr¨ade. I dessa rutor placerade man r¨ aknestavar, ca 1 dm l˚ anga. Ett tal utgjorde en rad, och antalet stavar i den rutan l¨angst till h¨ oger betecknade antalet en-tal, antalet stavar i rutan till v¨ anster om den antalet 10-tal etc. Om man skulle addera tv˚ a tal lade man dem under varandra, och lade ihop stavarna i rutorna som l˚ ag under varandra. Varje g˚ ang man fick ihop 10 stavar tog man en och lade i facket till v¨ anster och lade undan de ¨ovriga 9. Precis som vi adderar. Men vad man ocks˚ a gjorde var att man l¨ at slutresultatet p˚ a br¨adet vara dokumentationen av talet. (F¨or att minska antalet stavar som beh¨ ovdes i en ruta l¨at man 1-5 betecknas av samma antal stavar, men 69 beskrevs med hj¨ alp av en v¨ agr¨ att liggande stav kompletterad med n˚ agra lodr¨ ata.) Notera att v˚ ar nolla motsvarades av ett tomt fack. Fr˚ an kinesernas r¨ aknebr¨ ade till v˚ art s¨ att att skriva talen ¨ar en v¨aldigt kort resa. Men det var (troligen) indierna som s˚ ad¨ ar 500 f.Kr. uppfann det talsystem vi idag anv¨ander. Om vi utg˚ ar ifr˚ an kinesernas r¨aknebr¨ade s˚ a inf¨ orde indierna tv˚ a viktiga uppfinningar: 1. F¨or att snabbare kunna best¨ amma antalet streck i ett fack, la de dem enligt m¨ onster som p˚ aminner lite om hur v˚ ara siffror ser ut p˚ a en digitalklocka. Dessa utvecklades sedan till v˚ ara siffror 1,2,3,4,5,6,7,8,9. or ett tomt fack: 2. De inf¨orde en speciell symbol f¨ nollan.

att f¨orst˚ a Nirvana. Det som ˚ astadkommits med detta var allts˚ a dels att hur stora tal som helst kan beskrivas, men ocks˚ a att man kan r¨akna direkt med talen, anv¨andande papper och penna, ist¨allet f¨or att beh¨ova ett mekaniskt hj¨alpmedel. Beteckningss¨attet betyder att talsviten ak ak−1 . . . , a1 a0 ¨ar det tal vi f˚ ar om vi ber¨aknar ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . a1 10 + a0 . ¨ H¨ar ¨ar varje ai ett av talen 0, 1, . . . , 9. Aven om detta s¨att att skriva tal m¨ojligg¨or att vi kan skriva upp hur stora tal som helst, och g¨or addition relativt enkelt (enligt samma princip som det kinesiska r¨aknebr¨ adet), s˚ a ¨ar det inte direkt anpassat till att enkelt utf¨ ora multiplikationer (eller divisioner). Och ¨ar det sv˚ art att r¨akna blir det ofta fel, vilket kunde leda till att fartyg gick p˚ a grund, eller att arm´eer svalt. Steget att inf¨ora nollan som siffra ¨ar inte speciellt sj¨alvklart. Det gjordes en g˚ ang i gamla v¨ arlden, av indierna, och en g˚ ang i nya v¨arlden, av Mayaindianerna. Symbolen f¨or noll betyder p˚ a hinduiska tom, s˚ a det var mer en verbal beskrivning fr˚ an b¨ orjan, men med tiden uppt¨ackte man att den beh¨ovde ha rollen som en siffra. Det ¨ar inte det att grekerna inte funderade kring nollan, men deras problem var hur ingenting skulle kunna vara ett tal, och kom fram till att det vore en paradox om s˚ a var fallet. Eftersom “ingenting inte kan vara n˚ agonting” kan inte saker som siffran noll (eller vakuum) existera. Men indiernas uppfinning tog mer ¨an tusen ˚ ar att komma v¨aster-ut, och f¨or detta kr¨avdes muslimsk jihad. Araben Al-Khwarizmi var den f¨orste som i skrift (˚ ar 825) f¨ors¨okte f¨orklara decimalsystemet. Boken har ingen titelsida, men i arabiska bibliotekskataloger kallas den “Boken om addition och subtraktion med indiska metoder”. Den ¨ar en sammanfattande, f¨orklarande och f¨orfinande framst¨allning av tidigare vetande, fr¨amst av indiskt ursprung. Efter en ing˚ aende redog¨orelse f¨or decimalsystemet och bruket av nolltecknet beskriver han vad han kallar hinduiska metoder f¨or de grundl¨aggande aritmetiska operationerna. Addition och subtraktion utf¨or han som vi g¨or det, multiplikation med en metod som kan kallas n¨at-metoden som i allt v¨asentligt ¨ar samma metod som vi anv¨ander, fast ¨ar lite annorlunda uppst¨ alld. N¨atmetoden som beskrivs i Box 5, beskrevs f¨ orst av Al-Khwarizmi och populariserades i Europa av skotten John Napier under 1500-talet7 .

D¨armed var v˚ art s¨ att att skriva talen uppfunnit, det s.k. decimalsystemet. Decum ¨ ar latin f¨ or tio, som utg¨ or basen f¨or metoden. Det a r ett positionssy¨ stem, d¨ar positionen av ett tal talar om hur mycket det bidrar med. 3:an i 305 bidrar med 3 hundratal, medan 3:an i 35 endast bidrar med 3 tiotal. H¨arigenom kan man ocks˚ a skriva hur stora tal som helst. Vilket f¨or ¨ ovrigt var indiernas stora drivkraften, eftersom de var besatta av stora tal, och gav m˚ anga av dem speciella namn. S˚ a var t.ex. en rajju det avst˚ and en gudomlighet tillryggalade om han fl¨og i sex m˚ anader med en hastighet av en miljon a medan det decimala talsystemet er¨ovrade de muskilometer per ¨ogonblinkning (av storleksordningen S˚ limska l¨anderna, f¨orblev det f¨orh¨arskande siffersy216.5 ljus˚ ar). Hinduerna beh¨ ovde f¨ orst˚ a stora tal f¨or stemet i det kristna Europa l˚ angt in p˚ a medeltiden

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 6 of 13

Box 5 N¨atmetoden f¨ or multiplikation Som illustration p˚ a den s.k. n¨ atmetoden f¨ or multiplikation g¨ or vi samma som vi gjorde i Box 3, allts˚ a 35 · 174. En n¨ odv¨ andig f¨ oruts¨ attning f¨ or multiplikation i decimalsystemet ¨ ar att man kan multiplikationstabellen. De delar av den vi beh¨ over ¨ ar 1 3 5

7 21 35

4 12 20

3 5

7 2 3

0

3 5

0

5

10

4 1 1

9

3 2

2 5

ak 10k + . . . + a0 + a−1 10−1 + . . . + a−m 10−m . Detta f˚ ar betydelse vid t.ex. r¨anter¨akning.

Det vi g¨ or nu ¨ ar att vi drar den bak˚ atv¨ anda diagonalen i var och en av de nio rutorna i multiplikationstabellen. Sedan skriver vi varje tio-tal ovanf¨or diagonalen, och entalet nedanf¨ or. Sedan drar vi ut diagonalerna till en rad under den nedersta. Slutligen adderar vi talen p˚ a diagonalen 1 0

helst som det decimala systemet kan skriva ner exakt, utan ¨aven s˚ a sm˚ a tal vill, genom att anv¨ anda negativa potenser av 10, med en decimalpunkt f¨ or att markera var entalssiffran st˚ ar. Vi har allts˚ a att talet ak . . . a1 a0 .a−1 . . . a−m ¨ar talet

5 0

0

Vi ser att vi fick 10 i andra position. Vi splittrar den genom att l¨ agga tiotalssiffran till positionen till v¨ anster och beh˚ alla endast entalssiffran. Slutresultate ¨ ar 6090, precis som tidigare. John Napier anammade denna metod, som var k¨ and sedan tidigare, och konstruerade en sorts kulram f¨ or multiplikation. Hans metod, Napier’s ben, f¨ oreb˚ adade hans senare uppfinning av logaritmerna. Napiers ben kan l¨ att g¨ oras av pappersremsor (eller tr¨ astavar). F¨ or ¨ andam˚ alet beh¨ ovs tio remsor, ungef¨ ar en decimeter l˚ anga och ett par centimeter breda. Remsorna f¨ orses med linjer och siffror p˚ a samma s¨ att som ovan. Varje remsa svarar mot en rad i multiplikationstabellen. Sedan f¨ orfar man ungef¨ar som ovan. Genom att g˚ a i omv¨ and ordning kan man dividera.

Exempel 0.1. Betrakta f¨ oljande problem: du ska l˚ ana ut 100 kr till 13% r¨ anta i 5 ˚ ar, hur mycket ska d˚ a betalas tillbaka? P˚ a en kulram har man ¨ andligt m˚ anga positioner till sitt f¨ orfogande f¨ or dessa r¨ akningar. Som illustration best¨ ammer vi oss f¨ or att r¨ akna i hela kronor. Om vi ska r¨ akna ut 13% av ett heltal, multiplicerar vi med 13 och tar bort de tv˚ a sista siffrorna. Det betyder att r¨ akningarna blir Efter 1˚ ar 2˚ ar 3˚ ar 4˚ ar 5˚ ar

100 + 0.13 · 100 = 113 kr 113 + 0.13 · 113 = 113 + 14 = 127 kr 127 + 0.13 · 127 = 143 kr 143 + 0.13 · 143 = 161 kr 161 + 0.13 · 161 = 181 kr

Om vi r¨ aknar decimalt d¨ aremot, kan vi utan vidare h˚ alla reda p˚ a alla decimaler. V˚ ara r¨ akningar blir d¨ arf¨ or Efter 1˚ ar 2˚ ar 3˚ ar 4˚ ar 5˚ ar

100 + 0.13 · 100 = 113 kr 113 + 0.13 · 113 = 113 + 14.69 = 127.69 kr 127.69 + 0.13 · 127.69 = 144.28970 kr 163.047361 kr 184.24351793 kr

vilket inneb¨ ar en f¨ ortj¨ anst p˚ a 184.24 − 181 = 3.24 kr. Naturligtvis kan vi r¨ akna i ¨ oren p˚ a kulramen ist¨ allet, och d˚ a blir skillnaden mindre. Men principen ¨ ar att a tal rimligt det romerska. Den man som kom att betyda mest kulramen bara kan hantera relativt sm˚ f¨or att inf¨ora det decimala systemet i den kristna exakt. v¨arlden var Leonardo Fibonacci. Han var son till over en italiensk diplomat fr˚ an Pisa i Italien och bodde Som kuriosa kan vi notera att Fibonacci tog ¨ arabernas s¨ a tt att skriva talen direkt. I spr˚ ak som i hamnstaden Bejaia (Bougie) i nuvarande Algeriskrivs med det romerska alfabetet skrivs orden fr˚ an et som ton˚ aring. H¨ ar kom han i kontakt med de muslimska handelsm¨ annens s¨ att att r¨ akna, och ins˚ ag v¨anster till h¨oger, vilket ¨ar tv¨artemot hur araberna dess v¨arde f¨or ber¨ akningar. Han tog d¨ arf¨ or med sig skriver. Det betyder att araberna l¨aser l¨agsta siffran or oss. siffersystemet hem till Italien och skrev 1202 en bok, f¨orst och h¨ogsta sist, medan det ¨ar tv¨artom f¨ ’Konsten att r¨akna’ (Liber abaci ), som riktade sig Trots de rent ekonomiska f¨ordelarna med det detill italienska handelsm¨ an. I den f¨ orklarade han hur cimala systemet i merkantil r¨akning (inte bara det gav handelm¨annen rent ekonomiska vinster att r¨anter¨akning, utan ocks˚ a valutav¨axlingar), fann det r¨akna decimalt ist¨ allet f¨ or p˚ a kulram. Att det ¨ar medeltida Europa i ˚ arhundraden det decimala systes˚ a beror p˚ a att det a a mystiskt och sv˚ art att man ¨r inte bara hur stora tal som mets beteckningss¨att s˚

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 7 of 13

f¨ord¨omde det som ett dj¨ avulens p˚ afund och trodde Box 6 Datorer ¨ar som kulramar att de som anv¨ande de nya metoderna var trollkarlar Inf¨orandet av datorer f¨or numerisk r¨akning inneb¨ ar eller bedragare. Till exempel f¨ orbj¨ od Florens k¨opm¨an ett ˚ aterinf¨orande av kulramarnas begr¨ansningar. Siff1299 anv¨andandet av arabiska siffror. Spridningen ror lagras i datorer bin¨art, d¨ar siffrorna (0 och 1) och acceptansen f¨ or de arabiska siffrorna fick emellerkallas bitar. Fysiskt kan detta lagras som en elekttid hj¨alp av Gutenbergs tryckpress, och blev allm¨ant risk omkopplare. L¨agger man 8 s˚ adana bitar i en rad f˚ ar man en byte, och med en byte kan vi t.ex. k¨anda i Europa under 1400-talet. I mitten av 15008 beskriva alla heltal mellan 0 och 2 − 1 = 255. Vi talet var de i allm¨ ant bruk, och de romerska siffrorna kan sedan addera tv˚ a s˚ adana heltal genom att l¨ agga f¨orpassades till speciella omr˚ aden s˚ asom urtavlor och dem bredvid varandra och anv¨anda principen f¨ or ordningstal p˚ a kungar.

¨ Att rakna med positionssystem Ett positionssystem m˚ aste inte ha basen 10. Om vi l˚ ater b vara basen, s˚ a betecknar talet ak ak−1 . . . , a1 a0 talet ak bk + ak−1 bk−1 + . . . a1 b + a0 . Om vi t.ex. v¨aljer talet 305 i bas 8, s˚ a betecknar 2 det det decimala talet 3 · 8 + 0 · 8 + 5 = 197. Vi skriver detta som 3058 = 19710 . Omv¨ ant, har vi att 30510 = 4618 . F¨or att se det, notera f¨ orst att 305/8 ger resten 1. D¨arav a0 = 1. Sedan ger (305 − 1)/82 resten 6, vilket betyder att a1 = 6. Slutligen blir 305−1−6·8 = 4·82 . Om man arbetar i bas b beh¨over man b siffror, 0, 1, . . . , b−1. F¨ or en bas b > 10 betyder det att vi m˚ aste uppfinna nya “siffror”. T.ex. har det hexadecimala systemet bas b = 16, med de felande sex “siffrorna” A, B, C, D, E, F . N¨ ar vi multiplicerar i ett positionssystem med bas b, beh¨ over man l¨ara sig en multiplikationstabell som best˚ ar av b(b − 1)/2 element (¨aven om en del, som multiplikation med noll eller ett, ¨ar v¨ aldigt enkla). Detta g¨ or att s˚ adana h¨ar system ¨ar egentligen inte direkt anpassade till att enkelt utf¨ora multiplikationer (eller divisioner).

bin¨ar addition. Vi beh¨over f¨or detta fyra register: 2 f¨or talen 0 och 1, ett f¨or resultatet och ett f¨or minnesiffrorna. Ett problem ¨ar att om man adderar f¨ or stora tal kan man f˚ ar fel resultat, eftersom vi bara har en byte till v˚ art f¨orfogande. Addition av 232 och 64 tillg˚ ar t.ex. s˚ a att 11101000 och 1000000 adderas, vilket ger 00101000, eftersom den sista minnessiffran inte f˚ ar plats. Men detta ¨ar den bin¨ara beskrivningen av talet 40, s˚ a vi har alltst˚ a att 232+64 = 40 (vilket ¨ar 232+64-255). En annan observation ¨ar att vi kanske inte vill anv¨anda de 256 talen fr˚ an 0 till 255, utan vi vill ha tillg˚ ang till negativa tal. D˚ a kan vi l˚ ata f¨orsta biten best¨ammer om det ¨ar plus (0) eller minus (1), och sedan l˚ ater vi de ˚ aterst˚ aende 27 − 1 = 127 bitarna beskriva storleken (absolutbeloppet): p˚ a s˚ a s¨att kan vi beskriva alla tal mellan −127 och 127 (vilket bara a att det finns b˚ ade ett ¨ar 255 tal, och det beror p˚ +0 och ett −0). Genom att anv¨anda flera bytes kan vi f˚ a 16-bitars tal, 32-bitars tal, 64-bitars tal, etc. H¨arigenom kan vi ut¨oka antalet heltal vi kan r¨akna med, men oavsett val m˚ aste det bli ¨andligt m˚ anga tal som vi kan manipulera - vi kan inte r¨akna hur l˚ angt som helst.

Men det ¨ar en annan bas som successivt h˚ aller p˚ a att ers¨atta bas 10. Det ¨ ar bas 2, som definierar det bin¨ara talsystemet. Igen handlar det om representation av tal, men representation i datorer. D˚ a har det visat sig v¨aldigt praktiskt att anv¨ anda det bin¨ ara talsystemet som bara best˚ ar av ettor och nollor. En etta kan fysiskt representeras av att n˚ agot ¨ ar p˚ a, medan nollan a r att det a r av. Att addera bin¨ a ra tal blir v¨aldigt ¨ ¨ l¨att: man l¨agger upp dem i tv˚ a rader och j¨amf¨or positionerna. Om det ¨ ar precis en etta i en position, blir resultatet en etta. Tv˚ a nollor eller tv˚ a ettor ger en nolla, men i det senare fallet l¨ agger man till en etta p˚ a n¨asta position (minnessiffra). Multiplikationstabellen a mycket enkel: ¨ar ocks˚

fr˚ an bas 2 till bas 4, och sedan fr˚ an bas 4 till bas 8 osv. Decimaltalet 174 kan bin¨art skrivas 10101110. Det betyder att 174 = 27 + 25 + 23 + 22 + 2 = 2·43 +2·42 +3·4+2. I basen 4 skrivs allts˚ a decimaltalet 174 som 2232, (allts˚ a 17410 = 22324 ) vilket vi direkt kan se genom att skriva det bin¨ara talet i grupper som (10)(10)(11)(10) = 2232 (eftersom bin¨art 10 ¨ ar 2 i basen 4 och bin¨art 11 ¨ar 3 i basen 4). P˚ a samma s¨att blir 174 (10)(101)(110) = 256 i basen 8 och (1010)(1110)=(10)(14)=AE i bas 16, d¨ar mellanledet betecknar bas 10. Det senare kan vi f˚ a fr˚ an bas 4 representationen genom (22)(32) ocks˚ a.

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

Ett tal som representerar ett m¨atetal beskrivs i ett positionssystem med basen b p˚ a samma s¨att som heltalen, genom att anv¨anda negativa potenser av b, med 0 · 0 = 1 · 0 = 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1. en decimalpunkt f¨or att markera var entalssiffran st˚ ar. En annan sak att observera a¨r hur l¨ att det a¨r att g˚ a Vi har allts˚ a att talet ak ak−1 . . . , a1 a0 .a−1 . . . a−m a¨r

page 8 of 13

Box 7 En Gulf-krigs katastrof f¨or amerikanarna

talet ak bk +ak−1 bk−1 +. . . a1 b+a0 +a−1 b−1 +. . . a−m b−m . ¨ Aven om alla heltal kan skrivas p˚ a detta s¨att, g¨aller inte detsamma med br˚ ak, vilket kanske ¨ar aende tal ska vara ett ¨overraskande. F¨or att ovanst˚ br˚ ak m˚ aste det ha formen N/bm d¨ ar N ¨ ar ett heltal. Om vi f¨orkortar med den st¨ orsta gemensamma n¨amnaren ser vi att ett br˚ ak kan skrivas med en (¨andlig) decimalutveckling i basen b precis om br˚ akets n¨amnare delar n˚ agon potens av b. Men att br˚ ak ¨ar v¨ aldefinierade tal som inte kan skrivas med ¨andligt m˚ anga siffror i form av ett positionssystem inneb¨ ar att n˚ agot fattas. Vi kan ge en approximation av 1/7 till vilken precision vi vill, men vi kan inte skriva ner det exakt med ¨ andligt m˚ anga siffror. Ist¨allet g¨ aller t.ex. att 1/7 = 0.142857142857142857 . . . med en o¨andlig upprepning av sekvensen 142857, och f¨or att f˚ a likhet m˚ aste vi ta med o¨ andligt m˚ anga termer. Vilket skapar ett filosofiskt problem kring just vad o¨andligheten ¨ ar. Vi kan visserligen beskriva hur talet skrivs decimalt exakt (eftersom det ¨ ar en periodisk upprepning), men den faktiska summeringen av o¨andligt m˚ anga termer ¨ ar inte sj¨ alvklart. Allm¨ant g¨aller att ett br˚ ak alltid svarar mot decimalutvecklingar som ¨ar periodiska. Omv¨ant ¨ar en decimalutveckling som ¨ ar periodisk alltid ett br˚ ak. Om vi t.ex. vill veta vilket br˚ ak x = 0.142857142857142857 . . . svarar mot, observerar vi att multiplicerar vi det med 106 f˚ ar vi ett tal som kan skrivas 142857.142857142857142857 = 142857 + x. Med andra ord: 106 x = 142857 + x, och allts˚ ax= 142857/(106 − 1). Vi kan nu notera att 106 − 1 = 7 · 142857, varf¨or x = 1/7. Motsvarande g¨ aller i andra baser, men det ¨ar olika br˚ ak som ¨ ar ¨ andliga respektive periodiska. T.ex. g¨ aller att om vi utvecklar 0.1 bin¨art s˚ a har vi den periodiska sviten

Den 25 februari 1991, under f¨orsta Gulfkriget, misslyckades ett batteri av amerikanska patriot missiler att skjuta ner en inkommande irakisk Scud missil. Den slog ner i en amerikansk arm´e-barrack och d¨odade 28 soldater. En granskning av orsaken till misslyckandet visade att det berodde p˚ a att 0.1 inte ak. ¨ar ett bin¨art br˚ F¨or att kunna f˚ anga in Scud:en beh¨ovde batteriet best¨amma dess hastighet och tidpunkten den senast s˚ ags p˚ a radarn. F¨or att h˚ alla reda p˚ a tiden r¨ aknade systemet tiondels sekunder. F¨or att kunna ber¨ akna Scud:ens n¨asta position m˚ aste b˚ ade tid och hastighet uttryckas som reella tal. Patriotsystemet byggde p˚ a register om 24 bitar, s˚ a ¨overs¨attningen av tid fr˚ an ett heltal till ett reellt tal kan inte f˚ a h¨ogre precision and vad som ryms i 24 bitar. Det inneb¨ ar t.ex. att talet 1/10 lagras som det approximativa talet 0.00011001100110011001100. Skillnaden mellan 0.1 och detta tal ¨ar ungef¨ar 0.00000009510 . Systemet hade varit operationellt ca 100 timmar. P˚ a den tiden har tidsfelet accumulerats till 0.34 sekunder. En Scud f¨ardas med en hastighet av n¨astan 1700 m/s, och kommer d¨arf¨or mer ¨an en halv kilometer p˚ a den tiden. Den var d¨arf¨or utanf¨or Patriot-systemets synf¨alt, och kunde d¨armed inte hittas. L¨agg m¨ arke till att felet berodde p˚ ao vers¨ a ttningen av ett hel¨ tal till ett reellt tal; heltalsgeneratorn hade korrekt ordning p˚ a tiden.

hitta det av talen 2.1, 2.2, . . . , 2.9 som ¨ar det st¨ orsta som har en kvadrat som ¨ar mindre ¨an 5. Vi finner att det ¨ar 2.2, ty 2.2 = 4.84 < 5 men 2.3 = 5.29 > 5. Sedan forts¨ a det s¨attet och bygger p˚ a med √atter vi p˚ decimaler 5 = 2.2361.... Dock f˚ ar vi inte n˚ agonsin exakt 5, hur m˚ anga decimaler vi ¨an bygger p˚ a, men vi kan komma s˚ a n¨ara vi vill.

F¨or att best¨amma decimaltalet till en kvadratrot till den precision vi vill kan vi g˚ a tillv¨ aga p˚ a f¨oljande s¨att. L˚ at oss best¨ amma det tal a som ¨ ar s˚ adant 2 = 5. Beteckningen f¨ att a o r detta positiva tal ¨ar √ 5 och det ber¨aknas med successiv approximation. Vi b¨orjar med att konstatera att 2 < a < 3, ty 22 = 4 < 5 och 32 = 9 > 5. Sedan g¨ aller det att

Slutsatsen av detta ¨ar att vi p˚ a n˚ agot s¨att m˚ aste l˚ ata inte bara ¨andliga decimalutvecklingar utan ocks˚ a o¨andliga s˚ adana definiera tal – annars kan vi inte f˚ a med alla tal. Men detta leder till en del paradoxer eftersom o¨andligheten inte ¨ar ett helt problemfritt koncept. Men vi g¨or s˚ a, och d˚ a har vi definierat alla reella tal. De ¨ar alla tal som godtyckligt v¨al kan approximeras med ¨andliga decimalutvecklingar. Bland dessa finns tv˚ a typer av tal: de som har periodiska decimalutvecklingar och de som inte har det. De f¨orra utg¨or br˚ aken, ocks˚ a kallade de rationella talen, medan de senare utg¨or de irrationella talen. Att det finns irrationella tal ¨ar egentligen sj¨alvklart, det art att t¨anka ut ett s¨att att definiera ett ¨ar inte sv˚ tal vars decimalutveckling inte blir periodisk. Men irrationella tal finns mycket n¨armre oss.

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

1/10 = 0.00011001100110011001100 . . . Det faktum att vi ¨ aven h¨ ar har en o¨ andlig utveckling st¨aller till med en del problem, se Box 7.

page 9 of 13

√ ak av ett Ett enkelt exempel ¨ ar 2, allts˚ a det (positiva) tal Box 8 Hur man konstruerar ett kedjebFr˚ vars kvadrat ¨ar 2. Man inser l¨ att att detta tal ¨ar rationellt tal √ lite st¨orre ¨an ett, varf¨ or man kan skriva 2 = 1 + a. Hur konstruerar man d˚ a ett kedjebr˚ ak till ett godTalet a har en speciell egenskap, ty tyckligt reellt tal, som t.ex. π. Principen ¨ar enkel. √ 1 1 2+1 =√ = = 2 + a. a 2−1 2−1 √

Om vi d¨arf¨or utvecklar √

2 i ett kedjebr˚ ak f˚ ar vi

1 1 2=1+ =1+ =1+ 1/a 2+a

=1+

Det f¨oljer att jebr˚ aket √

√

1

Om x ¨ar ett reellt tal, l˚ at r(x) vara vad som blir kvar om man tar bort heltalsdelen. D˚ a bildar vi kedjebr˚ aket f¨or x genom att f¨orst definiera en svit av tal xn = 1/r(xn−1 ), n = 1, 2, . . . , utifr˚ an x0 = x, och sedan bilda talet .

1

[x1 ] +

1 2+ 1/a

1

1

[x0 ] +

1

[x2 ] + [x3 ] +

1 [x4 ] +

1 ...

d¨ar [xn ] st˚ ar f¨or heltalsdelen av xn . Som illustration tar vi π. Vi har d˚ a [x0 ] = 3 och eftersom r(π) = 0.1415927 . . . f˚ ar vi att x1 = 7.0625133 . . . och allts˚ a [x1 ] = 7. De n¨armast f¨oljande talen bir

1 2+ 2+a

2 definieras av det o¨ andliga kedx2 = 15.996594, x3 = 1.0034172, x4 = 292.63459,

1

2=1+ 2+

1

.

1 2+ 2 + ...

Eftersom rationella tal definierar ¨ andliga kedjebr˚ ak, √ ser vi att 2 ¨ar ett irrationellt tal. Genom att bara ta med ¨andligt m˚ anga steg i processen f˚ ar vi olika √ rationella approximationer till 2.

x5 = 1.5758184, x6 = 1.7366585 varf¨or motsvarande heltalsdelar blir 15, 1, 292, 1, 1. Det betyder att 1

π =3+ 7+

1

15 +

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

1

1+

1

292 +

S˚ a ett annat s¨att att beskriva irrationella tal a¨r allts˚ a som o¨andliga kedjebr˚ ak. Algoritmen f¨ or hur detta g¨ors beskrivs i Box 8. Vi antydde ovan att det inte ¨ ar s˚ a att varje o¨andlig decimalutveckling entydigt definierar de irrationella talen. F¨or att det ska g¨ alla m˚ aste vi plocka bort en speciell typ av decimalutvecklingar, vilka ¨ar av intresse i sig sj¨alva. F¨ or att illustrera det, betrakta problemet att g˚ a en str¨ acka som vi s¨ atter till 1 l¨angdenhet. Vi m˚ aste d˚ a f¨ orst g˚ a 9/10 av denna. D¨arefter 9/10 av det som ˚ aterst˚ ar. Sedan 9/10 av ˚ aterstoden, osv. Det betyder att den str¨ acka vi g˚ ar ar o¨ andligt m˚ anga nior. Men ¨ar 0.9999..., d¨ar det ¨ detta a a hela str¨ ackan, dvs ¨r detsamma som att g˚ 0.9999... = 1! Men det betyder att tal som slutar p˚ a o¨andligt m˚ anga 9:or ocks˚ a kan skrivas p˚ a ett annat s¨att, om vi h¨ojer siffran innan den f¨ orsta av dessa 9:or med ett och forts¨ atter med nollor. Detta problem har inget med bas 10 att g¨ ora. F¨ or det bin¨ara talsystemet blir t.ex. 0.1111111... = 1, f¨ or det terti¨ara blir 0.222222... = 1 osv.

.

1

1+

1 1 1 + ...

Vi vet att π a a detta ¨ ar ett ¨r ett irrationellt tal, s˚ o¨andligt kedjebr˚ ak. Emellertid ger detta oss en svit av anv¨andbara rationella approximationer 22 333 355 = 3.1428571, = 3.1415094, = 3.1415929. 7 106 113 Den sista approximationen h¨ar a¨r n¨astan osannolikt n¨ara det sanna v¨ardet p˚ a π.

¨ tal Datorn och binara P˚ a grund av deras betydelse ¨ar det all anledning att titta lite n¨armare p˚ a de bin¨ara talen. Eftersom vi bara har tv˚ a siffror att anv¨anda blir s˚ adana tal l¨angre ¨an de decimala talen, lite mer ¨an tre g˚ anger 3 s˚ a l˚ anga (eftersom 10 ¨ar lite mer ¨an 2 = 8). Men att r¨akna med dem ¨ar v¨aldigt mekaniskt – det handlar egentligen bara om att p˚ a olika s¨att anv¨ anda

•epost: [email protected]

page 10 of 13

f¨ordubblingar liksom i den egyptiska multiplikatio- och nen. Och f¨ordubblingar g¨ ors genom att f¨ orskjuta hela 0111 1111 1111 1111 .... 1111 talet ett steg ˚ at v¨anster (genom att l¨ agga till en nolla om vi pratar heltal). Detta g¨ or att vi kan anv¨anda vilket svarar mot talen 2−1023 ≈ 1.112537 × 10−308 bin¨ara tal n¨ar vi t¨ anker i termer av ja/nej. 1024 = (2 − 2−52 )21024 ≈ 3.595386 × Varf¨or multiplikation endast ¨ ar en fr˚ aga om addition och3081.111 . . . 1 × 2 ar inte med noll, eftersom mankan vi illustrera genom att ˚ aterigen multiplicera 35 10 . Men man f˚ och 174, vilka bin¨ art ¨ ar 100011 respektiv 10101110. tissa per definition b¨orja med en icke-lagrad etta. a mest extrema expoL˚ at oss multiplicera dem med den uppst¨ allning vi Ist¨allet har man avsatt de tv˚ nentv¨ a rdena till att betyda speciella saker, inkludek¨anner: rande nollan. Men dessa undantag l¨amnar vi d¨ arh¨ an i denna diskussion. 10101110 100011 10101110 101011100 0000000000 00000000000 000000000000 1010111000000 10101110 101011100 1010111000000 1000001010 1010111000000 1011111001010

Ist¨allet tittar vi in p˚ a hur datorn sedan utf¨ or de fyra r¨aknes¨atten. De ¨ar i princip alla reducerade till addition, vilket i sin tur a ¨r enkelt. Men innan vi g¨or det po¨angterar vi att det finns en lucka mellan tv˚ a konsekutiva tal. F¨or sm˚ a tal, med exponent noll, −55 ≈ 2.2310−16 . Detta betyder att ¨ar luckan  = 2 1 +  = 1 f¨or datorn i den meningen att den inte kan se skillnad p˚ a dessa tal.

¨ ¨ ¨ Om oandligheten och gransv arden

L˚ at oss nu ˚ aterv¨anda till definitionen av de reella talen. Vi har sett att dessa a ¨r alla o¨andliga decimalutvecklingar, med ett viktigt undantag: om den Detta ¨ar den bin¨ ara beskrivningen av 6090. Vi ser slutar med o¨andligt m˚ anga 9:or s˚ a ska man ist¨ allet h¨ar att multiplikationen bara best˚ ar av additioner. a sista icke-9-siffran ett steg och sluta med bara ¨oka p˚ Hur kan man d˚ a f˚ a datorn att representera andra nollor (dessa tv˚ a ¨ar samma tal, s˚ a man beh˚ aller bara tal? Det g¨ors som flyttal, och d˚ a i regel med 64 bitars ett). Men vad menas d˚ a med o¨andligt m˚ anga? enligt den s.k. IEEE 754 standarden som fungerar O¨andligt m˚ anga ¨ar faktiskt inte ett trivialt eller s˚ a att man skriver talet som ett normerat bin¨art tal mots¨agelsefritt begrepp. Vi betecknar det med ∞, med 52 bitar till h¨ oger om bin¨ arpunkten (motsvarar och det a a risk att man tror att det a ¨r d˚ ¨r ett tal. 15-16 decimala siffror) som Det ¨ar det inte! Vi vet att det finns o¨andligt m˚ anga e udda tal, och det a r v¨ a l sj¨ a lvklart att det finns fler ¨ s1.b1 b2 b3 . . . b52 × 2 heltal ¨an udda tal? S˚ a det m˚ aste finnas olika sorters d¨ar exponenten e m˚ aste vara i intervallet −1023 till o¨andligheter. +1024. Sedan lagras det i 64 bitar genom Tror man, tills man b¨orjar fundera kring vad det betyder att tv˚ a m¨angder har lika m˚ anga element. Det betyder att man kan para ihop elementen i de a m¨angderna tv˚ a och tv˚ a p˚ a s˚ a s¨att att det inte blir (1 + 11 + 52 bitar = 64 bitar). H¨ ar ¨ ar e11 e10 . . . e1 tv˚ n˚ agot o ver i n˚ agon av m¨ a ngderna. P˚ a samma s¨ att ¨ heltalet e + 1023 lagrat i 11 bitar. Den f¨ orsta siffran finns det lika m˚ anga tal som a r j¨ a mna kvadrater som ¨ 1 lagras inte. Talet ett representeras d¨ arf¨ or av det finns heltal osv. Terminologiskt s¨ager man att a m¨angder har samma kardinaltal (vilket betyder 0011 1111 1111 0000 0000 0000 .... 0000 0000 tv˚ lika m˚ anga element) om det finns en bijektion mellan (63) (240) (0) (0) dem. Kardinaltalet f¨or de naturliga talen ¨ar att de anga. I princip skulle talomr˚ adet (f¨ or positiva tal) markeras ¨ar uppr¨akneligt m˚ Ett s¨att att illustrerara det paradoxala med o¨ andligt av representationerna m˚ anga saker ¨ar Hilbert’s hotell som har o¨ andligt 0000 0000 0000 0000... 0000 m˚ anga rum. Ett s˚ adant hotell har alltid plats till en se11 e10 . . . e1 b1 b2 . . . b52

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 11 of 13

ny grupp g¨aster. Om det ¨ ar fullt, och det kommer en ny g¨ast, s˚ a flyttar man bara den g¨ ast som f˚ att rum 1 till rum 2, den som bodde d¨ ar till rum 3 osv. D˚ a f˚ ar alla rum, inklusive den nya g¨ asten som f˚ ar ta rum 1. Det betyder att ∞ + a = ∞ f¨ or alla tal a. Faktum ¨ar att hotellet ¨ar mer anv¨ andbart ¨ an s˚ a: om det kommer ett s¨allskap med o¨ andligt (men uppr¨ akneligt) m˚ anga g¨aster s˚ a f˚ ar de ocks˚ a plats: flytta den g¨ ast som ¨ar rum k nu till rum 2k, k = 1, 2, . . .. D˚ a blir alla rum med udda nummer lediga. Man placerar sedan de nya g¨asterna d¨ar, efter n˚ agon uppr¨ akning av dem. Vi har alls˚ a att ∞ + ∞ = ∞. Faktum ¨ar att de rationella talen ¨ ar ocks˚ a uppr¨akneligt m˚ anga (kan du t¨ anka ut ett s¨att att r¨akna upp dem?). Trots att det finns ofantligt m˚ anga av dem, s˚ a m˚ anga att vilka tv˚ a vi ¨ an v¨ aljer, s˚ a finns det alltid ett annat emellan dem (mellan br˚ aken a/b och c/d finns alltid talet (a + c)/(b + d)). Vi kan uttrycka det som att om vi tittar i en aldrig s˚ a liten omgivning till ett rationell tal, s˚ a hittar vi alltid o¨andligt m˚ anga rationella tal d¨ ar. Generellt s¨att g¨aller att det mellan tv˚ a givna tal alltid finns andra tal. Exempelvis finns mellan a och b alltid det aritmetiska medelv¨ √arde (a + b)/2, liksom det geometriska medelv¨ardet ab. (Och m˚ anga andra. Detta kan anv¨andas som ett argument till varf¨ or 1 = 0.9999999. Om det n¨amligen g¨ allde att 0.99999.... < 1, skulle det finnas ett tal d¨ aremellan, men hur skulle vi skriva det?)

det finns fler ¨an uppr¨akneligt m˚ anga irrationella tal. Kardinaltalet f¨or de irrationella talen (och d¨ armed de reella talen) ¨ar d¨arf¨or h¨ogre ¨an kardinaltalet f¨ or de naturliga talen. Sedan a r det en intressant fr˚ aga ¨ om det finns n˚ agon delm¨angd av de reella talen som ocks˚ a ¨ar icke-uppr¨aknelig men har ett l¨agre kardinaltal ¨an de reella talen, den s.k. kontinuumhypotesen. Vi ˚ aterv¨ander nu till d¨ar vi b¨orjade detta avsnitt, dvs med observationerna att f¨or det bin¨ara talsystemet blir t.ex. 0.1111111... = 1, f¨or det terti¨ ara blir 0.222222... = 1 osv. Uttryckta i v˚ art vanliga decimala talsystem ¨ar dessa p˚ ast˚ aenden 1 1 1 + ( )2 + . . . + ( )n + . . . = 1, 2 2 2 respektive 2 2 2 + ( )2 + . . . + ( )n + . . . = 1. 3 3 3 Den f¨orsta av dessa har den geometriska inneb¨ orden att f¨or att g˚ a en str¨acka, m˚ aste jag f¨orst g˚ a halva str¨ackan, sedan h¨alften av det som ˚ aterst˚ ar, osv. Grekerna funderade mycket p˚ a denna tolkning: man borde ju aldrig komma fram. Detta ¨ar inneb¨ orden av den ber¨omda paradoxen om Akilles och sk¨oldpaddan. Logiskt sett, tyckte grekerna, kan man aldrig komma fram eftersom man har o¨andligt m˚ anga halveringar att g¨ora. Och det a¨r n˚ agot paradoxalt med det hela: antag att vi t¨ander och sl¨acker en lampa p˚ a f¨ oljande s¨att: efter 1/2 minut t¨ander vi den, d¨arefter sl¨ acker vi den efter 1/4 f¨or att ˚ ater t¨anda den efter 1/8 minut osv. Vi ¨ar f¨ardiga med det hela efter 1 minut, men a¨r lampan t¨and eller sl¨ackt?

Men trots det finns det p˚ a ett linjestycke plats f¨or de irrationella talen ocks˚ a. Och de ¨ ar ¨ annu fler, n¨amligen icke-uppr¨akneligt m˚ anga. F¨ or att se det kan vi f¨orst p˚ aminna oss att vi vet att rationella tal har periodiska utvecklingar i vilken bas vi ¨ an v¨ aljer, och detta ¨ar vad som definierar dem. En enkel, men genial, id´e Noteringar av Cantor fr˚ an 1800-talet talar om varf¨ or det finns o¨andligt m˚ anga irrationella tal. Enklast ¨ ar det att adade Sirius uppdykande ¨over horisonten i genomf¨ora resonemanget i det bin¨ ara talsystemet, 1. T.ex. f¨oreb˚ Egypten att Nilen snart skulle sv¨amma ¨over d¨arf¨or att d¨ar har varje siffra en komplement¨arsiffra 2. Kanske inte r¨att ord. Vad grekerna lyckades b¨ ast med (0 har 1 och 1 har 0 som komplement¨ arsiffra). Antag att det finns uppr¨ akneligt m˚ anga irrationella tal mellan 0 och 1, och skriv ner en uppr¨ akning av dem. Vi ska nu definiera ett nytt bin¨ art tal genom att l˚ ata den i:te siffran i listan ¨ over talen vara komplementet till den siffra som st˚ ar p˚ a den i:te platsen i det i:te talets bin¨ ara utveckling. Detta ger oss ett nytt tal, och detta tal kan inte vara n˚ agot av de som finns i uppr¨akningen (det skiljer sig med s¨ akerhet p˚ a ˚ atminstone en plats). Men detta ger en mots¨agelse: vi antog att vi kunde r¨ akna upp alla talen, men fann ett som inte kommer med i uppr¨ akningen. Allts˚ a m˚ aste det grundl¨ aggande antagandet vara fel, d.v.s

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

var att skapa en mystik kring talen, och matematik i allm¨anhet.

3. D¨arigenom uppkom matematikens speciella syntax: den med kopplade p˚ ast˚ aenden (satser) som kr¨aver ordentligt strukturerade bevis. 4. I Grekland utf¨ordes ber¨akningsarbetet av slavar. 5. Detta inneb¨ar att vi f¨ors¨oker hitta en gemensam grundenhet som vi kan m¨ata allt i, i form av naturliga tal. I antiken var det underf¨orst˚ att att detta alltid gick att g¨ora f¨or m¨atetal, tills grekerna till sin stora chock uppt¨ackte att det inte var fallet. 6. 20-tal (fingrar och t˚ ar) hos bl.a. Maya-indianer och danskar

•epost: [email protected]

page 12 of 13

7. John Napier var en fanatisk skotsk protestant som hade tv˚ a passioner i livet:, han ville krossa katolicismen och han ville avskaffa ber¨ akningsarbete i dess d˚ avarande from och ers¨ atta den med ett rationellt system som var s˚ a enkelt att vem som helst kunde klara det. Ur den senare passionen kom tv˚ a betydelsefulla resultat: Napier’s ben, som mekaniserade multiplikation och division en hel del, och de oerh¨ ort viktiga logaritmerna, som ¨ ar en annan historia.

Varf¨ or r¨ aknar vi som vi g¨ or? Om v˚ art talsystems historia.

•epost: [email protected]

page 13 of 13