Variables aléatoires : Bernouilli , loi de poisson Ex1:(T+p 385 ) Un

Variables aléatoires : Bernouilli , loi de poisson Ex 1 : ( T+p 385 ) Un magasin reçoit chaque jour d'un grossiste, une quantité constante de produit A. La probabilité pour qu'un jour donné, le grossiste ne livre pas le produit A est de 2%. a) Dans ces conditions, quelle est la probabilité pour que le magasin soit approvisionné au moins 235 jours sur 240 jours ouvrables dans l'année ? b) Quelle est la durée moyenne annuelle pendant laquelle on peut s'attendre à ne pas trouver le produit A dans le magasin ? Si l'on note X la variable aléatoire égale au nombre de jours de non approvisionnement du produit A, en admettant que chaque jour les livraisons sont indépendantes les unes des autres, X suit une loi binômiale de paramètres n = 240 et p = 0,02. k=5 P k C240´0, 02k´0, 98240−k » a) p(X ≤ 5) = p(X=0) + p(X=1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) = k=0

0,65 √ √ b) On calcule : E(X) = n.p = 240×0,02 = 4,8 jours ; s(X) = n.p.q = 240´0, 02´0, 98 » 2,17 jours Le produit A ne sera pas livré dans une fourchette E(X) ± σ(X), c'est à dire de 2 à 7 jours par an. Ex 2 : ( T+ p 386 ) Un commerçant vend le même jour 6 magnétoscopes. La probabilité qu'un appareil de ce type soit en bon état au bout de 5 ans est de 0,8. Calculer les probabilités que, 5 ans plus tard : a) 4 magnétoscopes exactement soient en bon état ; b) Tous les magnétoscopes soient en bon état ; c) Au moins un magnétoscope soit en panne. A chaque magnétoscope peut être associé une épreuve de bernouilli, où le succès est le bon état avec une probabilité p = 0,8 et l'échec est la panne avec une probabilité q = 0,2. Les pannes sont indépendantes. La variable aléatoire X égale au nombre de magnétoscopes en bon état au bout de 5 ans est la somme de 6 variables aléatoires de bernouilli indépendantes et de même probabilité de succès p = 0,8. X suit la loi B(6 ; 0,8). a) p(X = 4) = C64 ×0,8 4 ×0,2 2 » 0,25 b) p(X = 6) = C66 ×0,8 6 ×0,2 0 » 0,26 c) L'événement est l'événement contraire du b) de probabilité égale à 1 − p(X = 6) » 0,74. Ex 2' :( T+ p 386 ) Une usine fabrique des tubes fluorescents. Elle a testé la durée de vie de 400 tubes et obtenu le tableau ci-dessous : Durée de vie ( en heures ) Nombre de tubes

300 400 8

400 500 52

500 600 58

600 700 76

700 800 68

800 900 62

900 1000 48

1000 1100 22

1100 1200 6

1. Calculer la moyenne et l'écart-type de la durée de vie d'un tube. 2. L'entreprise vends les tubes par lots de 20. Elle garantit qu'ils ont une durée de vie supérieure ou égale à 400 heures. Soit X le nombre de tubes par lots de 20 qui ne répondent pas à cette condition ( tubes défectueux ). On suppose que X suit une loi binômiale. ( On donnera des résultats à 10 −4 près ) a) Quelle est la probabilité, pour que dans un lot, il n'y ait pas de tube défectueux ? b) Quelle est la probabilité, pour que dans un lot, il y ait au plus deux tubes défectueux ? 1. On prend les centres des classes pour valeurs x i . On obtient E(Y) » 717h et σ(Y) » 187,6h. 2. Sur 400 tubes, 8 sont défectueux. La probabilité pour qu'un tube soit défectueux est de 0,02. X suit une loi binômiale B(20 ; 0,02). 0 a) p(X = 0) = C20 ×0,02 0 ×0,98 20 = 0,98 20 » 0,6676 2 b) p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0,9820 +C120´0, 021´0, 9819 + C20 ´0, 022´0, 9818 » 0,9929 Ex 3 : ( Bréal p 99 ) Sachant que le nombre moyen de communications téléphoniques reçues par un standart entre 10h et 11h est de 1,8 par minute et que le nombre X d'appels reçus par minute est une variable aléatoire qui suit une loi de poisson ; calculer la probabilité pour qu'entre 10h53 et 10h54 il y ait : a) Aucun appel b) Un appel c) Deux appels d) Au moins deux appels k −1,8 1,8 La loi de poisson de paramètre 1,8 permet d'écrire p(X = k) = e ´ k! k ∈ [F06E ?]. 0

1

−1,8 a) p(X = 0) = e−1,8´1,8 » 0, 165 29 b) p(X = 1) = e−1,8´1,8 0! = e 1! » 0,297 52 2

c) p(X = 2) = e−1,8´1,8 d) p(X ≥ 2) = 1 − p(X = 0) − p(X = 1) » 0, 537 19 2! » 0,267 76 Ex 4 : ( Vuibert p 28 ) ( BTS construction métallique 1994 ) Une entreprise de construction métallique s'approvisionne régulièrement chez le même fournisseur en poutres IPE. D:\1_math\Classe\5_BTS\Cours-Proba-Stat\11-var\binom-poisson-anc.doc

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1/?

3% des poutres présentent un défaut A concernant les dimensions du profilé. 2% des poutres présentent un défaut B concernant la qualité de l'acier. La présence de ces deux défauts constitue des événements indépendants. Les poutres ne présentant ni le défaut A, ni le défaut B sont dites de premier choix, toutes les autres sont dites de second choix. 1. Calculer les probabilités, pour une poutre choisie au hasard, d'être de premier choix, de second choix ( On donnera la valeur exacte ). 2. Dans la suite du problème on admettra que la probabilité pour une poutre d'être du second choix est p = 0,05. On prélève au hasard, avec remise, 30 poutres dans le stock de l'entreprise et on définit la variable aléatoire X qui associe à un tel prélèvement le nombre de poutres de second choix. a) Quelle est la loi de probabilité de X ? b) p(X = k) désigne la probabilité pour qu'il y ait k ( 0 ≤k ≤30 ) poutres de second choix, calculer p(X = 0 ), p(X = 1), p(X = 2). Quelle est la probabilité d'avoir au moins 28 poutres de premier choix ? ( on donnera la réponse à 10 −2 près ) c) On approche la loi de probabilité de X par une loi de poisson de paramètre λ= 1,5. Calculer en utilisant cette loi de poisson, p(X = 0 ), p(X = 1), p(X = 2), p(X ≤2) et comparer ces résultats à ceux de la question précédente. Soit A " la poutre présente le défaut A " et B " la poutre présente le défaut B " 1. La poutre est de premier choix correspond à l'événement AIB or p(AIB) = p(A)´p(B) ( événements indép. ) p(AIB) = (1 − p(A))´(1 − p(B)) = (1 − 0, 03)(1 − 0, 02) = 0, 9506. La poutre est de second choix correspond à l'événement contraire de probabilité 0,0494. 2 On répète 30 fois de suite, de façon indépendante ( tirage avec remise ) l'expérience aléatoire à deux issues, le nombre de réalisation X de l'événement " la poutre est de second choix suit une loi binômiale B(30 ; 0,05). a) On a p(X=k)=Ckn´0, 05k´0, 9530−k d'où p(X = 0) » 0,21 ; p(X = 1) » 0,34 ; p(X = 2) » 0,26 On a au moins 28 poutres de premier choix correspond à l'événement (X ≤ 2 ) de probabilité 0,21 + 0,34 + 0,26 = 0,81 k c) Si l'on approche la loi de X par une loi de poisson de paramètre 1,5 on a p(X = k) = e−1,5´1,5 k ∈ [F06E ?]. k! d'ou p(X = 0) » 0,22 ; p(X = 1) » 0,33 ; p(X = 2) » 0,25 ; p(X ≤ 2) » 0,81 Ex 5 : ( Vuibert p 29 ) Dans un atelier comportant un grand nombre de machines semblables on a constaté qu'au cours d'une semaine, le nombre X de machines nécessitant une intervention de l'équipe de maintenance suit une loi de poisson de paramètre 4. Déterminer le nombre k tel qu'il y ait une probabilité au moins égale à 0,95 que le nombre de machines nécessitant une intervention soit au plus égale à k. On cherche k tel que p(X ≤ k ) ≥ 0,95 on fait une lecture inverse de la table de poisson de paramètre 4 en additionnant les probabilités p(X = k ) à partir de k = 0 jusqu'à ce que la somme dépasse 0,95. k=8 k=7 P P p(X = k)»0, 978. p(X = k)»0, 948 et k=0

k=0

Il y a 95% de chances que le nombre de machines nécessitant une intervention soit inférieur ou égal à 8. Ex 6 : ( T+ p 388) La loi de probabilité du nombre de ventes mensuelles d'un produit x est donnée par le tableau suivant : Quantités ( en millions )

0

1

2

3

4

5

6

probabilités

0,21

0,32

0,26

0,14

0,05

0,02

0

a) Comparer le nombre moyen m et l'écart-type des ventes mensuelles. La loi de probabilité des ventes peut-elle être assimilée à une loi de poisson ? b) Calculer les probabilités déduites de la loi de poisson P(m). c) En supposant que les ventes mensuelles soient indépendantes deux à deux, quelle est la loi de probabilité suivie par le nombre de ventes annuelles ? Quelle est sa moyenne et son écart-type ? d) Calculer la probabilité que le nombre de ventes annuelles soit supérieur ou égal à 20 millions d'unités a) On obtient : m »,56 et σ »,3 donc σ 2 »,49. m est assez proche de σ 2 . k k ∈ [F06E ?] donne les mêmes résultats. b) La loi de poisson P(1,56) définie par p(X = k) = e−1,56´1,56 k! c) Les douze variables aléatoires associées au douze mois de l'année sont indépendantes, leur somme suit une loi de poisson de paramètre 12×1,56 = 18,72. Le nombre moyen des ventes annuelles est donc de 18,72 millions. l'écart-type √ est donc de 18, 72 » 4,3 millions ; d) p(Z ≥ 20) = 1 − p(Z ≤ 19 ) = 1 − 0,586 » 0,414 Ex 7 : ( Vuibert p 30 ) Un constructeur de vélos a besoin de tubes de selles en aluminium. Son fournisseur habituel lui propose un lot de tubes. Le constructeur se propose de contrôler les lots qu'il reçoit par comptage au moyen des plans d'échantillonnage indiqués par la norme N F X06 −022. Il constitue un échantillon de 80 tubes. D:\1_math\Classe\5_BTS\Cours-Proba-Stat\11-var\binom-poisson-anc.doc

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2/?

La norme conseille d'accepter le lot si le nombre x de tubes défectueux de cet échantillon est inférieur ou égal à 2. On admet que la variable aléatoire X donnant les valeurs de x obéit à une loi de poisson de paramètre λinconnu. 1. Montrer que la probabilité d'accepter le lot est égale à : f (λ) = e − λ (1 + λ+λ2 / 2 ). 2. Etudier les variations de f pour λvariant de 0 à 10. 3. Donner le tableau de valeurs de f (λ) pour λentier de 0 à 10. Tracer alors la courbe ( courbe d'efficacité) représentant la fonction f sur [0 ; 10] ( on prendra pour unités 1 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées ). 4. On appelle p la probabilité qu'un tube pris au hasard dans un lot soit défectueux. On admettra que λ= 80p. En utilisant la courbe représentative de f : a) Déterminer la probabilité d'acceptation quand p vaut 0,01. b) Inversement, déterminer la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d'acceptation devient inférieure à 0,1. k 1. p(X = k) = e−λ´λk! k ∈ [F06E ?]. donc f (λ) = p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) d'ou le résultat. 2 0 2. f (x) =- λ2 e−λ donc [Warning : Image ignored] ≤ 0 la fonction est donc décroissante sur [0 ; 10] 3. Tableau de valeurs λ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f (λ)

1

0,919

0,677

0,423

0,238

0,125

0,062

0,030

0,014

9 6,2×10

10 − 3

2,8×10

− 3

4. a) Si p =0,01 alors λ = 0,8 . On lit sur le graphique f (λ) » 0,95. b) Si f (λ) = 0,1 on lit sur le graphique λ » 5,4 . Comme f est décroissante sur [0 ; 10] on en déduit que f (λ) ≤ 0,1 si λ ≥ 5,4, c'est à dire p ≥ 0,0675.

Ex 8 : ( T+ p 387 ) Sur une année, un magasin est en rupture de stock d'un produit A, en moyenne 3 semaines, et d'un produit B, en moyenne 2 semaines. Les approvisionnement se font toutes les semaines et sont indépendants. Appelons X le nombre aléatoire de ruptures de stock du produit A, Y le nombre aléatoire de ruptures de stock du produit B et Z le nombre aléatoire de ruptures de stock d'un produit A ou B sur une période d'un an. On considère que la variable aléatoire X suit une loi de poisson de paramètre 3 et Y suit une loi de poisson de paramètre 2. 1. Quelle est la probabilité que le nombre de ruptures de stock du produit A soit strictement supérieur à 1 ? 2. Quelle est la probabilité que, sur un an, il n'y ait aucune rupture de stock ? 3. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2 ruptures de stock ? 1 0 1. p(X > 1) = 1 − p(X ≤ 1) = 1 − p(X = 0) − p(X = 1) = 1 − e−3 30! − e−3 31! » 0,80 2. L'événement Z = 0 est réalisé lorsque X = 0 et Y = 0, donc p(Z = 0) = p[(X = 0) I(Y = 0)]. 0 0 Les livraisons étant indépendantes on a p(Z = 0) = p(X = 0)×p(Y = 0) = e−3 30! × e−2 20! » 0,00673. 3. p(Z ≥ 1) = 1 − p(Z = 0) − p(Z = 1). Il ne reste plus qu'a calculer ce dernier. L'événement Z = 1 est réalisé lorsque X = 0 et Y = 1 ou lorsque X =1 et Y = 0. p(Z = 1) = p(X = 0)×p(Y = 1) + p(X = 1)×p(Y = 0) » 0,0337 d'où p(Z ≥ 1) » 0,96. rem : Z est la somme de deux variables aléatoires de poisson indépendantes X et Y donc Z suit une loi de poisson de paramètre λ = 2 + 3 = 5. Ex 9 : ( Bréal p 100 ) La distribution statistique suivante donne la répartition du nombre de jours sans accident, avec 1 accident, . . . , avec quatre accidents pour une période de 50 jours dans une ville. Nombre d'accidents : xi

0

1

2

3

4

Nombre de jours : fi

21

18

7

3

1

D:\1_math\Classe\5_BTS\Cours-Proba-Stat\11-var\binom-poisson-anc.doc

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3/?

1. Calculer le nombre moyen λd'accidents par jour durant la période de 50 jours. 2. Ajuster la distribution précédente par une loi de poisson de paramètre λ. Calculer la probabilité pour qu'arrive 1 accident, 2, 3, 4 accidents. 3. Calculer le nombre théorique de jours Fi ou aura lieu aucun accident, un accident, . . . , quatre accidents. 4. Comparer le nombre théorique de jours Fi avec le nombre de jours observés fi . Comparer la variance de la loi théorique avec la distribution empirique observée. Conclure ? 5. Combien y aura-t-il de jours sans aucun accident P pendant une période de 365 jours ? i = 45 1. Le nombre moyen d'accidents par jour est λ = Pfif.x 50 = 0, 9 i k

}.

2. L'ajustement se fait par une loi de poisson de paramètre 0,9 P(0,9) : p(X = k) = e−0,9´0,9 k! Valeurs de k

0

1

2

3

4

p(X = k)

0,4066

0,3659

0,1647

0,0494

0,0111

k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4

3. Le nombre théorique de jours où auront lieu k accidents est donné par Fi = n×p(X = k ) avec n = 50 on obtient Nombre d'accidents : x i

0

Nombre de jours théoriques : Fi 20,33 » 20

1

2

3

4

18,30 » 18

8,24 » 8

2,47 » 2

0,56 » 1

P

f .x

2

4. La moyenne de la loi empirique est λ = 0, 9 et sa variance est s2 = Pi fi i2 − X » 0,97. La moyenne de la loi de poisson est λ = 0, 9 et sa variance est s2 = λ = 0, 9. L'ajustement est bon. 5. Le nombre de jours sans accidents sera N = 365×p(X = 0) = 365×0,4066 » 149 jours. Ex 10 : ( Colin p 147 ) ( BTS informatique industrielle 1993 ) Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D'une statistique préalable, on déduit que la probabilité pour que ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l'expérience qui consiste à émettre n fois le rayon laser, les émissions étant deux à deux indépendantes et ayant même probabilité d'atteindre la cible. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience. 1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X . Dans le cas où n = 300, calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de cette loi. 2. Pour une expérience avec un nombre n d'essais, n ≥50 , on admet qu'il est légitime d'approcher la loi de probabilité de X par une loi de poisson. a) Donner en fonction de n le paramètre λde cette loi de poisson. b) On estime que l'expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins 3 fois la cible. Donner les valeurs de X correspondant à l'événement " expérience non concluante ", et exprimer la probabilité de cet événement en fonction de λ. c) Soit f la fonction définie pour x positif ou nul par :f (λ) = e − λ (1 + λ+λ2 / 2 ). Etudier les variations de f et calculer f (6,1) ; f (6,2) ; f (6,3). d) En utilisant les résultats de la question 2.c), donner un nombre n0 d'essais à partir duquel la probabilité de l'événement " expérience concluante " est strictement supérieure à 0,95. 1. A chaque fois il y a deux éventualités complémentaires, le succès étant " le rayon atteint la cible " avec une probabilité de 0,01. Les émissions sont indépendantes deux à deux. √ La variable aléatoire X suit la loi de bernouilli B(300 ; 0,01) donc E(X) = n.p = 3 et σ(X) = n.p.q » 1,72. 2. a) n ≥ 50 ; on approche B(n ;p) par une loi de poisson P(n.p) . Ici λ = n.p = 0, 01n. b) La probabilité de l'événement " expérience non concluante " est f (λ) = p(X < 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) 2 2 d'ou f (λ) = e−λ + λ.e−λ + λ2 .e−λ = e−λ .(1 + λ + λ2 ) c) La fonction f a déjà été étudiée et tracée à l'exercice 7 . f ( 6,1) » 0,0577 ; f ( 6,2) » 0,0536 ; f ( 6,3) » 0,0498 d) La probabilité de l'événement " expérience concluante " est 1 − f (λ) or 1 − f (λ)> 0,95 équivaut à f (λ)< 0,05 D'après la question 2. c) f (λ)< 0,05 dès que λ ≥ 6,3 soit 0,01n ≥ 6,3 ce qui donne n ≥ 630. La probabilité de l'événement " expérience concluante " est donc strictement supérieure à 0,95 pour n ≥ 630. D:\1_math\Classe\5_BTS\Cours-Proba-Stat\11-var\binom-poisson-anc.doc

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