Variables aléatoires Probabilités et

Probabilités et

●

Objectifs Concepts fondamentaux du calcul des probabilités Variables aléatoires Quelques lois élémentaires : ■

■ ■

Loi binomiale Loi de Poisson ✔ La Loi de Gauss-Laplace ✔ ✔

Variables aléatoires

●

●

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 1

La théorie des probabilités Étude des phénomènes aléatoires et des lois du hasard Épreuve : Protocole d’une expérience dont le résultat est aléatoire Reproductibilité Conditions identiques pour tous

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 2

●

■

●

■ ■

✔

Ex. : Lancer un dé et relever le chiffre sur la face supérieure

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 3

●

Évènement : A, B, C, ... Collection d’évènements élémentaires Ex. : « Obtenir une face paire » Évènement [A ou B] ⇔ union Si A, si B, ou si les deux simultanément sont réalisés Évènement [A et B] ⇔ restriction Si A et B sont réalisés à la fois

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 4

●

■

●

●

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 5

Évènement élémentaire Chacun des résultats possibles Ex. : L’épreuve du lancer d’un dé a six évènements élémentaires : {1}–{2}–{3}–{4}–{5}–{6} Catégorie d’épreuves :  Collection de tous les résultats Ex. :  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

●

●

●

Évènements incompatibles Ils ne peuvent être réalisés au cours de la même épreuve Évènement contraire : A ou non A Il est réalisé quand A ne l’est pas Évènement impossible Il ne peut être réalisé à la suite de l’épreuve Évènement certain Il se réalise à coup sûr PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 6

●

Trois axiomes : 1. La probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1

●

■

■

■

●

2. Si A et B sont deux évènements incompatibles, alors la probabilité de [A ou B] est égale à la somme des probabilités de A et de B

Convention : La probabilité d'un évènement A est notée : Pr(A) Calculer la probabilité d'un évènement ? Deux approches : Classique – Mathématique Expérimentale ■ ■

3. La probabilité de l’évènement certain vaut 1 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 7

●

Approche classique « Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors d’un lancer d’un dé parfait ? » Six évènements élémentaires Contexte équiprobable Une seule face réalise le 6 Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7% ■ ■ ■

Nombre de cas favorables Pr  A= Nombre de cas possibles PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 9

●

Conditions : L’épreuve doit être répétée un grand nombre de fois Toutes les épreuves doivent être réalisées sous les mêmes conditions, suivant même protocole

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 8

●

Approche expérimentale « Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors d’un lancer d’un dé parfait ? » Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers Pr({6}) = 15 / 100 = 15% ■

Pr  A =

=

Nombre de réalisations Nombre d ' épreuves fréquence A PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 10

Fréquence  Probabilité n∞

■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 11

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 12

●

Les règles d’addition : Évènements incompatibles : Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B) Ex. : Lancer d’un dé

■

Évènements compatibles : Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B]) Ex. : Lancer d’un dé A = paire Pr(A) = 1/2 ✔B = { ≥ 5 } ✔ Pr(B) = 1/3 ✔ [A et B] = {6} ✔ Pr([A et B] )= 1/6 ✔

■

✔

A = paire Pr(A) = 1/2 ✔ B = {1} ✔ Pr(B) = 1/6 ✔

Pr(A)

✔

Pr(B)

Pr(C)

= 1/2 + 1/6

Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6

Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 13

■

Évènements contraires : Pr(A Pr(A ) = 1 - Pr(A) Ex. : Lancer d’un dé A = paire ✔ Pr(A) = 1/2 ✔ A = impaire ✔ Pr(A Pr(A) = 1/2 ✔ Pr(A Pr(A) = 1 – ½ = ½ ✔

 =1−Pr  A Pr  A

= 1/2 + 1/3 - 1/6

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 14

●

Probabilités conditionnelles et évènements indépendants Les compagnies d’assurance déterminent leurs primes en fonction des risques encourus Le risque d’avoir un accident de voiture est de deux pour mille : 2‰ Le montant des primes n’est pas le même pour tous... Pourquoi ? ■

■

Pr(A)

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 15

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 16

Par contre, les « blondes » n’ont pas plus d’accidents que les autres conducteurs « Être blonde » n’est pas un facteur de risque : « Une conductrice blonde court un risque de 2‰ d’avoir un accident de la route » Le risque est indépendant de la couleur des cheveux

■ ■

■

■

■

Un jeune conducteur est impliqué dans dix fois plus d’accidents qu’un conducteur averti L’âge est un facteur à risque : « Le risque qu’un jeune conducteur ait un accident est de 2% » Le risque d’accident est conditionné par l’âge Le risque dépend de l’âge du conducteur

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 17

■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 18

●

●

Définition et notation Probabilité conditionnelle Pr(A/B) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise sachant que l’évènement B s’est déjà produit Indépendance Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre ■

■

Règles de multiplication

Algodystrophie

Hom m e (H)

Fem m e (F)

Tot al

Oui (A)

4

12

16

Non (A)

72

216

288

Tot al

76

228

304

Quelle est la probabilité pour un homme de développer de l'algodystrophie suite à un traumatisme (par ex. entorse) ? Pr(A/H) = 4/76 = 0,053 (5,3%)

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 19



Règles de multiplication Algodystrophie

Hom m e (H)

Fem m e (F)

Tot Total al

Oui (A)

4

12

16

Non (A)

72

216

288

Tot al

76

228

304



Quelle est la probabilité qu’une personne développe une algodystrophie sur traumatisme ? Pr(A) = 16/304 = 0,053 (5,3%)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 20

Algodystrophie

Hom m e (H)

Fem m e (F)

Tot al

Oui (A)

4

12

16

Non (A)

72

216

288

Tot al

76

228

304

■

Indépendants : Pr(A/H) = Pr(A)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 21

■

Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si Pr(A/B) = Pr(A) et Pr(B/A) = Pr(B) Règle de multiplication : Pr(A et B) = Pr(A) × Pr(B)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 23

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 22

Antécédents fam iliaux

Pr oblèm es thyr oïdiens

Oui (A)

Non ( A)

Tot al

Oui (T)

14

11

25

Non (T)

28

209

237

Tot al

42

220

262

■

■

Quelle est la probabilité qu’une personne tirée de cet échantillon soit un homme qui développe de l'algodystrophie ? Pr(H et A) = 4/304 = 1,3% = 4/76 × 76/304 = Pr(A/H) × Pr(H)

Quelle est la probabilité qu'une personne avec des antécédents familiaux développe des troubles de la thyroïde ? Pr(T/A) = 14/42 = 0,33 (33%) PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 24

Oui (A)

Non ( A)

Tot al

25

Oui (T)

14

11

25

209

237

Non (T)

28

209

237

220

262

Tot al

42

220

262

Oui (A)

Non ( A)

Tot al

Oui (T)

14

11

Non (T)

28

Tot al

42

■

■

Quelle est la probabilité qu’une personne ait des troubles de la thyroïde ? Pr(T) = 25/262 = 9,5 % (  Pr(T/A) )  Dépendants

Quelle est la probabilité qu’un sujet de l'échantillon présente des troubles de la thyroïde et ait des antécédents familiaux ? Pr(T et A) = 14/262 = 5,3% = 14/42 × 42/262 42/262 = Pr(T/A)× Pr(A)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 25

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 26

● ■

Si deux évènements A et B sont dépendants : Pr(A et B) = Pr(A/B) × Pr(B) Ou Pr(A et B) = Pr(B/A) × Pr(A)

Les tests de dépistage, d’aptitude « Comment juger le risque d'une maladie génétique chez un enfant à naître suite à un test prénatal positif ? » « Quel risque encourt-on d’être porteur d’une maladie si le test de dépistage se révèle positif ? » On n’a pas directement accès à cette information ! ■

■

Attention ! Indépendance ≠ incompatibilité

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 27

●

Prévalence de la maladie : Pr(M) Nombre de cas de maladie ou de malades dans une population déterminée Elle s'exprime en nombre de cas pour 100 000 habitants Sensibilité d’un test : Pr(T/M) Probabilité que le test se révèle positif chez un sujet atteint Spécificité d’un test : Pr(T/M) Probabilité que le test soit négatif chez un sujet sain

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 28

●

■

●

●

Antécédents fam iliaux

Pr oblèm es thyr oïdiens

Antécédents fam iliaux

Pr oblèm es thyr oïdiens

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 29

●

Valeur prédictive positive : Pr(M/T) Risque d’être atteint d’une maladie si le test se révèle positif Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?

Pr  M et T  Pr T /M×Pr  M = Pr T  Pr  T  Pr T / M×Pr M = Pr T /M ×Pr MPr T / M×Pr M

Pr M /T  =

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 30

●

Exemple : Maladie génétique Test

■ ■ ■

Pr  P/ M×Pr M Pr P / M ×Pr  MPr  P/ M×Pr M  0,9953×0,001 = 0,9953×0,0011−0,9983 × 1−0,001 =0,363=36,3 %

Pr M / P =

Maladie génétique Maladie génétique

Positif

425

1

Négatif

2

572

Total

427

573

Un test positif s'accompagne d'un risque de 36,3% que l'enfant présente la maladie à la naissance

Prévalence : Pr(M) = 1‰ (hypothèse) Spécificité : Pr(N/M Pr(N/M) = 572/573 = 99,83% Sensibilité : Pr(P/M) = 425/427 = 99,53%

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 31

Pour une autre prévalence ? Pr(M) = 1‰ ⇒ VPP = 36,3% Pr(M) = 0,1‰ ⇒ VPP = 5,4% La prévalence de la maladie joue un rôle prépondérant Même avec une très bonne spécificité et une très bonne sensibilité, un test de dépistage devient inutile si la maladie a une prévalence est très faible !

●

Les variables aléatoires

■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 33

●

Variable aléatoire : X, Y, … Épreuve dont les évènements élémentaires sont des nombres Discrète (« numérotable ») : ■

Lancer un dé ✔ Juger le score d'une personne à un test cognitif ✔

■

Continue (toute valeur d’un intervalle) : Mesurer la consommation (en gr) de produits laitiers par jour ✔ Mesurer le taux sanguin d'insuline ✔

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 35

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 34

●

Loi (ou distribution) de probabilité Graphique, table ou formule qui décrivent la probabilité associée aux divers évènements d’une variable aléatoire Lancer d’un dé parfait ■

20%

15%

Probabilité

●

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 32

10%

5%

0%

1

2

3

4

5

6

Fa ce

Proba .

1

1 /6

2

1 /6

3

1 /6

4

1 /6

5

1 /6

6

1 /6

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 36

●

Paramètres d’une v.a. Moyenne Écart type En conclusion… Variable aléatoire + Loi de probabilité = Modèle théorique – Étalon

La loi des grands nombres permet de juger la qualité d'un modèle Ex. : En théorie, une face doit apparaître une fois sur 6, mais dans la pratique le hasard dicte ses règles… La comparaison entre les observations et les prévisions du modèle permet de vérifier sa validité, son bien-fondé !

■ ■

●

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 37

●

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 38

●

Les variables aléatoires discrètes La loi de probabilité donne l’ensemble des probabilités p1, p2, … associées à chacune des éventualités x1, x2, … pi = Pr( X = xi ) ■

■

La loi Binomiale B(n, p) Elle dépend de deux paramètres n : nombre d’épreuves (d'essais) p : probabilité du succès conditions : Nombre fini d’épreuves Deux issues possibles Épreuves indépendantes p constant ■ ■

■

0 ≤ pi ≤ 1 et Σ pi = 1 Ex. : Lancer d’un dé

■ ■

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 39

●

X ~ B(n, p) compte le nombre de succès sur le total des n épreuves Loi de probabilité : k

n−k

n !×p ×q Pr  X =k = k !×n−k ! ■ ■

k est le nombre de succès q = (1 – p) est la probabilité de l’échec

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 40

●

Ex. : Hygiène La contamination, par des agents bactériens, d'un repas préparé en hôpital est de 2% Quelle est la probabilité que cinq ou plus de cinq repas préparés sur 100 soient contaminés ? ■

■

n = 100 p = Pr(Cont.) = 0,02 ✔ q = Pr(Sain) = 1 – 0,02 = 0,98 ✔ ✔

⇒ X ~ B(100 ; 0,02) PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 41

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 42

101 configurations sont possibles : Tous les repas sont sains : SS...S Un seul repas est contaminé : CS...S Deux repas sont contaminés : CCS...S ... Tous les repas sont contaminés : CC..C X compte le nombre de repas contaminés

●

■

●

■ ■ ■

●

■

La probabilité recherchée vaut : Pr(X ≥ 5) = Pr(X = 5) + Pr(X = 6) +... + Pr(X = 100) Évènements contraires : Pr(X ≥ 5) = 1 – Pr(X < 5)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 43

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 44

Pr(SS...S) = Pr(X = 0)

■

■

100! 0 100 ×0,02 ×0,98 0 !×100! 0,133=13,3 %

Pr  X =0 =

=

Pr(CCS...S) = Pr(X = 2)

Pr  X =2= ■

100 ! 2 98 ×0,02 ×0,98 =0,273=27,3 % 2!×98!

Pr(CCCS...S) = Pr(X = 3)

Pr  X =3=

Pr(CS...S) = Pr(X = 1)

■

■

100! 1 99 ×0,02 ×0,98 1 !×99! 0,271=27,1%

Pr  X =1 =

=

100 ! ×0,023 ×0,9897 =0,183=18,3 % 3!×97 !

Pr(CCCCS...S) = Pr(X = 4)

Pr  X =4=

100! 4 96 ×0,02 ×0,98 =0,09=9,0% 4 !×96 !

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 45

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 46

Fonction de répartition inverse : au moins k repas contaminés

Distribution de probabilité des repas contaminés

(Pour un total de 100 repas)

(Pour un total de 100 repas) 30%

100% 27%

100%

27% 87%

25% 80%

20% 18%

60%

Probabilité

Probabilité

60% 15% 13%

40% 32%

10%

9%

20% 14%

5%

4% 5% 1% 0%

0% 0

1

2

3

4

5

6

7

0%

8

0%

9

0%

10

Nombre d'erreurs

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 47

2%

0%

0%

0%

0%

6

7

8

9

10

0% 0

1

2

3

4

5

Nombre de repas

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 48

●

Paramètres de la B(n, p) Moyenne : µ = n × p Écart type :  =  (n × p × q)

●

■ ■

La loi de Poisson P() Modélisation de la survenue d’évènements rares dans le temps et/ou dans l’espace Pharmacovigilance Risque d’une panne d’équipement Elle ne dépend que d’un paramètre  : Nombre d’évènements rares qui se produisent en moyenne ■

●

Ex. : Hygiène Moyenne : µ = 100 × 0,02 = 2 Écart type :  =  (100 × 0,02 × 0,98)=1,96

■

■

■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 49

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 50

●

Conditions : Les évènements successifs sont indépendants les uns des autres Les évènements sont rares :

Loi de probabilité Une v.a. de Poisson compte le nombre d’évènements rares qui se produisent X ~ P() prend les valeurs 0, 1, …, k, … avec les probabilités ■

■

−

Pr  X =k =e ×

■

✔

La probabilité que deux tels évènements se produisent est très faible

●

Paramètres de P() Moyenne : µ =  Écart type :  = 

k

k!

■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 51

●

Ex. : Pharmacovigilance Aucune réaction indésirable n'est observée sur les 10 000 premières prescriptions d’un médicament Quel risque encourt-on pour un million de prescriptions ? Il n’est pas nul ! Supposons qu’il soit d’une réaction indésirable sur un million de prescriptions ■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 53

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 52

■

■

Avec un risque de 1 par 1 000 000, on compte en moyenne  = 0,01 réaction adverse (10 000 × 1/1 000 000) pour les 10 000 premières prescriptions X ~ P(=0,01) N’observer aucun incident est donc très probable :

0,010 Pr  X=0 = e × 0! −0,01 =e =0,99=99 % −0,01

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 54

● ■

■

■

Pour un risque de 100 réactions adverses par million ( = 10 000 × 100/1 000 000 = 1) La probabilité de n’observer aucun incident reste assez forte : Pr(X=0) = e-1 = 37% Pour un risque de 1‰ la probabilité de n'observer aucun incident devient très faible : Pr(X=0) = e-10 = 0,0045%

Calcul du risque : Le risque maximal admis est celui associé à une probabilité 5% La probabilité de n'observer aucun incident vaut 5% : ✔ Pr(X = 0) = 5% ≈ e -3 ⇔ = 3 Conclusion : Si aucun évènement indésirable n'est enregistré sur N cas, on fixe le risque réel entre 0 et 3/N ■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 55

●

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 56

Les variables aléatoires continues Toutes les valeurs dans un intervalle sont possibles Traitement très différent de celui des variables aléatoires discrètes

●

■

■

La loi ne peut plus associer une probabilité à chaque valeur ✔ La probabilité d’une valeur précise est toujours nulle ✔

■

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 57

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 58

●

■

La loi de probabilité d’une v.a. continue s’exprime à partir d’une fonction de densité Les probabilités font référence à des intervalles de valeurs : « Quelle est la probabilité d’avoir un taux d'insuline à jeun compris entre 36 et 110 pmol/L ? » ✔ « Supérieure à 200 pmol/L ? » ✔

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 59

Analogie : Le tronc d’un baobab Le tronc pèse 10 tonnes On le débite en tronçons infiniment fins (d’épaisseur nulle) c’est-à-dire de masse nulle ∑ tranches = tronc = 10 tonnes Répartition de la masse ⇔ densité ■

■

Calcul des probabilités : Pr(x1 < X < x2 ) = Aire délimitée par x1 et x2 sous la courbe densité de probabilités

Pr(x1< X< x2 )

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 60

●

La loi normale N(  ,  ) synonyme : Loi de Gauss Loi de Laplace Courbe « en cloche » Elle dépend de deux paramètres  : sa moyenne  : son écart type



■



■



A :  = 0 et  = 1 B :  = 2 et  = 1 C :  = 0 et  = 0.5

■

■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 61

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 62

 

Applications : Standardisation des résultats de tests d'aptitude



■

✔ ✔ ■

■

Quotient intellectuel, Test de communication…

Modélisation de paramètres biométriques, biologiques… ✔

■

A : Valeurs trop faibles B : Valeurs normales C : Valeurs trop élevées

Taille, Taux de glycémie à jeun...

Valeurs de référence Étalonnage — Normalisation PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 63

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 64

●

Propriétés : Symétrique par rapport à la moyenne Mode = Médiane = Moyenne Décroissance rapide de part et autre de la moyenne ■ ■ ■

Pr( X >  ) = 0,5 Pr( X <  ) = 0,5

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 65

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 66

■ ■

Quand rencontre-t-on une distribution gaussienne ? Nombreux facteurs de variation (explicatifs) Ex. : Le poids varie en fonction ✔ ✔

■

De la taille De l'hygiène de vie

Les fluctuations dues à ces facteurs sont : ✔ En tous sens ⇒ symétrie ✔

Indépendantes

●

La Loi normale centrée et réduite : Si X est une variable aléatoire gaussienne : X ≈ N(  ;  ) Alors la v.a. Z définie par Z = ( X - ) /  Est distribuée selon une loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1 : Z ≈ N( 0 ; 1 )

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 67

●

Calcul des probabilités : On se ramène à la loi N(0, 1)

Pr  x 1 X x 2  =Pr  x 1− X − x 2−  x 1 − X−  x 2−    =Pr     =Pr  z 1 Z z 2  PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 69

●

Résolution : X  V.A. score au test de Wechsler X ≈ N (100 (100,, 10) 10) 1. Pr (100 < X < 112,6) = ? On passe à la v.a. : Z ≈ N (0, 1)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 68

●

Exemple : Test de Wechsler (QI) Les scores au test de Wechsler (mesure du QI) sont normalisés. La moyenne des scores est de 100 pour un écart type de 10 1. Quelle est la probabilité d’un score compris entre 100 et 112,6 ? 2. Entre 85 et 115 ? 3. Supérieur à 125 ? 4. Compris entre 75 et 85 ? ■

■ ■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 70

On se réfère à la table de la N (0, 1)

■

■ ■

Pr 100 X112,6 100−100 X −100 112,6−100 = Pr     10 10 10 = Pr 0Z 1,26

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 71

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 72

1.26 = 1.2 + 0.06

●

Résolution : 2. Pr (85 < X < 115) = ? ■

6

7

0

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2704

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

z

0

1

2

3

4

5

8

9

■

Pr 85 X115 85−100 X −100 115−100 = Pr     10 10 10 = Pr −1,50Z 1,50

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 73

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 74

Pr (0 < Z < 1,50) = 0,4332 Pr (-1,50 < Z < 1,50) = Pr (-1,50 < Z < 0) + Pr (0 < Z < 1,50) = Pr (0 < Z < 1,50) + Pr (0 < Z < 1,50) = 2 × 0,4332 = 0,8664 = 86,64%

■ ■

z1 = -1.50 x1 = 85

0

z2 = 1.50

100

x2 = 115

Symétrie ⇔ A = B

z

0

1

0,3413

1 0,3438

1,1

0,3643

0,3665

1,2

0,3849

0,3869

1,3

0,4032

0,4049

1,4

0,4192

0,4207

1,5

0,4332

0,4345

1,6

0,4452

0,4463

1,7

0,4554

0,4564

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 75

■

4. Pr (75< X< 85) = Pr (-2,50< Z ≤ -1,5) B = 0,4938 – 0,4332 = 0,0606 = 6,06%

0. 5

32

=

0.

43

0. 49 38

0.

B

=

A+

49

38

■

B

3. Pr (X ≥ 125) = Pr (Z ≥ 2,5) = 0,5 – Pr (0 < Z < 2,5) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062 = 6,2‰

A+

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 76

0

z = 2.50

100

x =125

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 77

z1=-2.50 x1 = 75

z2=-1.50 =-1.50 x2 = 85

100

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 78

●

Exemple : Test de Wechsler (QI) Quel score doit obtenir un enfant pour être classé parmi les surdoués : seulement 5% des enfants obtiennent un score aussi élevé ? ■

4

5

1,4

3 0,4236

0,4251

0,4265

6 0,4279

1,5

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

1,6

0,4484

z

0,4495 0,4505

0,4515

1,7

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

1,8

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

■

Pr (0 < Z < z5%) = 0,45 z5% = 1,645 1,645

■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 79

x = 100 + 10 × 1,645 = 116,45 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 80