Variables aléatoires Probabilités et

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilités et



Objectifs Concepts fondamentaux du calcul des probabilités Variables aléatoires Quelques lois élémentaires : ■

■ ■

Loi binomiale Loi de Poisson ✔ La Loi de Gauss-Laplace ✔ ✔

Variables aléatoires PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 1





La théorie des probabilités Étude des phénomènes aléatoires et des lois du hasard Épreuve : Protocole d’une expérience dont le résultat est aléatoire Reproductibilité Conditions identiques pour tous

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 2







■ ■





Ex. : Lancer un dé et relever le chiffre sur la face supérieure PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 3



Évènement : A, B, C, ... Collection d’évènements élémentaires Ex. : « Obtenir une face paire » Évènement [A ou B] ⇔ union

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 4







Si A, si B, ou si les deux simultanément sont réalisés ●

Évènement [A et B] ⇔ restriction Si A et B sont réalisés à la fois

Évènement élémentaire Chacun des résultats possibles Ex. : L’épreuve du lancer d’un dé a six évènements élémentaires : {1}–{2}–{3}–{4}–{5}–{6} Catégorie d’épreuves :  Collection de tous les résultats Ex. :  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }



Évènements incompatibles Ils ne peuvent être réalisés au cours de la même épreuve Évènement contraire : A ou non A Il est réalisé quand A ne l’est pas





Évènement impossible Il ne peut être réalisé à la suite de l’épreuve Évènement certain Il se réalise à coup sûr

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 5

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 6



Trois axiomes : 1. La probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1











2. Si A et B sont deux évènements incompatibles, alors la probabilité de [A ou B] est égale à la somme des probabilités de A et de B

Convention : La probabilité d'un évènement A est notée : Pr(A) Calculer la probabilité d'un évènement ? Deux approches : Classique – Mathématique Expérimentale ■



3. La probabilité de l’évènement certain vaut 1 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 7



Approche classique « Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors d’un lancer d’un dé parfait ? » Six évènements élémentaires Contexte équiprobable Une seule face réalise le 6 Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7% ■

■ ■

Nombre de cas favorables Pr  A= Nombre de cas possibles PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 9



Conditions : L’épreuve doit être répétée un grand nombre de fois Toutes les épreuves doivent être réalisées sous les mêmes conditions, suivant même protocole ■



PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 11

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 8



Approche expérimentale « Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors d’un lancer d’un dé parfait ? » Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers Pr({6}) = 15 / 100 = 15%



Pr  A =

=

Nombre de réalisations Nombre d ' épreuves fréquence A PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 10



Évènements compatibles : Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])

Les règles d’addition : Évènements incompatibles : Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B) Ex. : Lancer d’un dé



Ex. : Lancer d’un dé A = paire Pr(A) = 1/2 ✔B = { ≥ 5 } ✔ Pr(B) = 1/3 ✔ [A et B] = {6} ✔ Pr([A et B] )= 1/6 ✔



A = paire Pr(A) = 1/2 ✔ B = {1} ✔ Pr(B) = 1/6 ✔



Pr(A)

Pr(B)



Pr(C)

= 1/2 + 1/3 - 1/6

= 1/2 + 1/6

Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6

Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 13



Évènements contraires : Pr(A Pr(A ) = 1 - Pr(A) Ex. : Lancer d’un dé A = paire ✔ Pr(A) = 1/2 ✔ A = impaire ✔ Pr(A Pr(A) = 1/2 ✔ Pr(A Pr(A) = 1 – ½ = ½ ✔

 = 1− Pr  A −Pr  A

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 14



Probabilités conditionnelles et évènements indépendants Les compagnies d’assurance déterminent leurs primes en fonction des risques encourus Le risque d’avoir un accident de voiture est de deux pour mille : 2‰ Le montant des primes n’est pas le même pour tous... Pourquoi ? ■



Pr(A)



PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 15

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 16

Par contre, les « blondes » n’ont pas plus d’accidents que les autres conducteurs « Être blonde » n’est pas un facteur de risque : « Une conductrice blonde court un risque de 2‰ d’avoir un accident de la route » Le risque est indépendant de la couleur des cheveux

■ ■







Un jeune conducteur est impliqué dans dix fois plus d’accidents qu’un conducteur averti L’âge est un facteur à risque : « Le risque qu’un jeune conducteur ait un accident est de 2% » Le risque d’accident est conditionné par l’âge Le risque dépend de l’âge du conducteur

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 17





PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 18





Définition et notation Probabilité conditionnelle Pr(A/B) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise sachant que l’évènement B s’est déjà produit Indépendance Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre ■



Règles de multiplication

Pet it-déjeuner

Homm e (H)

Fem me (F)

Tot al

Oui (D)

54

1 14

1 68

Non (D)

18

38

56

Tot al

72

1 52

2 24

Quelle est la probabilité qu'un homme prenne son petit déjeuner au moins cinq fois par semaine ? Pr(D/H) = 54/72 = 0.750 (75%)



PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 19



Règles de multiplication Petit-déjeuner Petit déjeuner

Homme (H)

Femme (F)

Total Total

Oui (D)

54

114

168

Non (D)

18

38

56

Total

72

152

224

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Petit-déjeuner

Homme (H)

Femme (F)

Total

114

168

Oui (D)

54

Non (D)

18

38

56

Total

72

152

224

Quelle est la probabilité qu’une personne tirée de cet échantillon soit un homme qui prenne un petit-déjeuner plus de 5 fois par semaine ? Pr(H et D) = 54/224 = 24,1% = 54/72 × 72/224 Indépendants : Pr(D/H) = Pr(D) = Pr(D/H) × Pr(H) ■



Quelle est la probabilité qu’une personne prenne un petit-déjeuner au moins 5 fois par semaine ? Pr(D) = 168/224 = 0,750 (75%)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 21



Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si Pr(A/B) = Pr(A) et Pr(B/A) = Pr(B)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 22

Cons. suffisante en produits laitiers

Règle de multiplication : Pr(A et B) = Pr(A) × Pr(B)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 23

Jeunes (J)

Adultes (A)

Total

Oui (S)

9

5

14

Non (S)

141

245

386

Total

150

250

400





Âge

Quelle est la proportion de jeunes qui ont une consommation suffisante de produits laitiers ? Pr(S/J) = 9/150 = 0,060 (6%) PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 24

Jeunes (J)

Adultes (A)

Total

Oui (S)

9

5

14

386

Non (S)

141

245

386

400

Total

150

250

400

Jeunes (J)

Adultes (A)

Total

Oui (S)

9

5

14

Non (S)

141

245

Total

150

250





Quelle est la proportion de personnes qui ont une consommation suffisante de produits laitiers ? Pr(S) = 14/400 = 3,5 % (  Pr(S/J) )  Dépendants

Quelle est la probabilité qu’un sujet soit un jeune qui ait une consommation suffisante de produits laitiers ? Pr(J et S) = 9/400 = 2,25% = 9/150 × 150/400 = Pr(S/J)× Pr(J)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 25

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 26

● ■

Si deux évènements A et B sont dépendants : Pr(A et B) = Pr(A/B) × Pr(B) Ou Pr(A et B) = Pr(B/A) × Pr(A)

Les tests de dépistage, d’aptitude « Comment juger le risque d'une maladie génétique chez un enfant à naître suite à un test prénatal positif ? » « Quel risque encourt-on d’être porteur d’une maladie si le test de dépistage se révèle positif ? » On n’a pas directement accès à cette information ! ■



Attention ! Indépendance ≠ incompatibilité

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Prévalence de la maladie : Pr(M) Nombre de cas de maladie ou de malades dans une population déterminée Elle s'exprime en nombre de cas pour 100 000 habitants Sensibilité d’un test : Pr(T/M) Probabilité que le test se révèle positif chez un sujet atteint Spécificité d’un test : Pr(T Pr(T/M) Probabilité que le test soit négatif chez un sujet sain

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Âge

Cons. suffisante en produits laitiers

Âge

Cons. suffisante en produits laitiers

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Valeur prédictive positive : Pr(M/T) Risque d’être atteint d’une maladie si le test se révèle positif Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?

Pr  M et T  Pr T / M×Pr  M = Pr T  Pr  T Pr T / M×Pr M = Pr T / M×Pr MPr T / M× Pr M

Pr M/T  =

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 30



Exemple : Maladie génétique Test Positif



■ ■

Pr P/ M× Pr M Pr P / M ×Pr  MPr  P/ M ×Pr M  0,9953×0,001 = 0,9953×0,0011−0,9983 × 1− 0,001 =0,363=36,3 %

Pr M /P =

Maladie génétique Maladie génétique

425

1

Négatif

2

572

Total

427

573

Un test positif s'accompagne d'un risque de 36,3% que l'enfant présente la maladie à la naissance

Prévalence : Pr(M) = 1‰ (hypothèse) Spécificité : Pr(N/M Pr(N/M) = 572/573 = 99,83% Sensibilité : Pr(P/M) = 425/427 = 99,53%

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 31



Pour une autre prévalence ? Pr(M) = 1‰ ⇒ VPP = 36,3% Pr(M) = 0,1‰ ⇒ VPP = 5,4% La prévalence de la maladie joue un rôle prépondérant Même avec une très bonne spécificité et une très bonne sensibilité, un test de dépistage devient inutile si la maladie a une prévalence est très faible !

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 32



Les variables aléatoires





PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 33



Variable aléatoire : X, Y, … Épreuve dont les évènements élémentaires sont des nombres Discrète (« numérotable ») : ■

✔ ✔



Lancer un dé Juger le score d'une personne à un test cognitif

Continue (toute valeur d’un intervalle) : Mesurer la consommation (en gr) de produits laitiers par jour ✔ Mesurer le taux sanguin d'insuline ✔

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PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 34



Paramètres d’une v.a. Moyenne Écart type En conclusion… Variable aléatoire + Loi de probabilité = Modèle théorique – Étalon

La loi des grands nombres permet de juger la qualité d'un modèle Ex. : En théorie, une face doit apparaître une fois sur 6, mais dans la pratique le hasard dicte ses règles… La comparaison entre les observations et les prévisions du modèle permet de vérifier sa validité, son bien-fondé !

■ ■





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PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 38

Les variables aléatoires discrètes La loi de probabilité donne l’ensemble des probabilités p1, p 2, … associées à chacune des éventualités x 1, x2, … pi = Pr( X = xi )







La loi Binomiale B(n, p) Elle dépend de deux paramètres n : nombre d’épreuves (d'essais) p : probabilité du succès conditions : Nombre fini d’épreuves Deux issues possibles Épreuves indépendantes p constant ■





0 ≤ pi ≤ 1 et Σ pi = 1 Ex. : Lancer d’un dé

■ ■

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6



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X ~ B(n, p) compte le nombre de succès sur le total des n épreuves

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Ex. : Hygiène La contamination, par des agents bactériens, d'un repas préparé en hôpital est de 2% Quelle est la probabilité que cinq ou plus de cinq repas préparés sur 100 soient contaminés ? ■



Loi de probabilité :

n !×pk ×q n−k Pr  X =k = k !×n−k !



n = 100 p = Pr(Cont.) = 0,02 ✔ q = Pr(Sain) = 1 – 0,02 = 0,98 ✔





k est le nombre de succès q = (1 – p) est la probabilité de l’échec



⇒ X ~ B(100 ; 0,02) PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 41

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 42



101 configurations sont possibles : Tous les repas sont sains : SS...S Un seul repas est contaminé : CS...S Deux repas sont contaminés : CCS...S ... Toutes les repas sont contaminés : CC..C X compte le nombre de repas contaminés

■ ■

■ ■







La probabilité recherchée vaut : Pr(X ≥ 5) = Pr(X = 5) + Pr(X = 6) +... + Pr(X = 100) Évènements contraires : Pr(X ≥ 5) = 1 – Pr(X < 5)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 43



Pr(SS...S) = Pr(X = 0)

Pr  X =0 =

=

100! ×0,020 ×0,98100 0 !×100! 0,133=13,3 %

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 44



Pr(CCS...S) = Pr(X = 2)

Pr  X=2= ■

100 ! ×0,02 2 ×0,9898 =0,273=27,3 % 2!×98 !

Pr(CCCS...S) = Pr(X = 3)

Pr  X= 3= ■

Pr(CS...S) = Pr(X = 1) ■

Pr  X =1 =

=

100! ×0,021 ×0,9899 1 !×99! 0,271=27,1% PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 45

100 ! ×0,02 3 ×0,98 97 = 0,183=18,3 % 3!× 97 !

Pr(CCCCS...S) = Pr(X = 4)

Pr  X=4=

100 ! ×0,024 ×0,9896 =0,09=9,0% 4!×96!

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 46



Paramètres de la B(n, p) ■ ■



Moyenne : µ = n × p Écart type :  =  (n × p × q)

La loi de Poisson P( ) Modélisation de la survenue d’évènements rares dans le temps et/ou dans l’espace Pharmacovigilance Risque d’une panne d’équipement Elle ne dépend que d’un paramètre  : Nombre d’évènements rares qui se produisent en moyenne ■

Ex. : Hygiène Moyenne : µ = 100 × 0,02 = 2 Écart type :  =  (100 × 0,02 × 0,98)=1,96









PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 49

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 50



Conditions : Les évènements successifs sont indépendants les uns des autres Les évènements sont rares :

Loi de probabilité Une v.a. de Poisson compte le nombre d’évènements rares qui se produisent X ~ P( ) prend les valeurs 0, 1, …, k, … avec les probabilités ■



−

Pr  X =k =e ×





La probabilité que deux tels évènements se produisent est très faible



Paramètres de P( ) Moyenne : µ =  Écart type :  = 

k k!

■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 51



Ex. : Pharmacovigilance Aucune réaction indésirable n'est observée sur les 10 000 premières prescriptions d’un médicament Quel risque encourt-on pour un million de prescriptions ? Il n’est pas nul ! Supposons qu’il soit d’une réaction indésirable sur un million de prescriptions ■ ■

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PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 52





Avec un risque de 1 par 1 000 000, on compte en moyenne  = 0,01 réactions adverses (10 000 × 1/1 000 000) pour les 10 000 premières prescriptions X ~ P( =0,01) N’observer aucun incident est donc très probable : 0

0,01 Pr  X =0 = e × 0! −0,01 =e =0,99=99 % −0,01

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 54









Pour un risque de 100 réactions adverses par million ( = 10 000 × 100/1 000 000 = 1) La probabilité de n’observer aucun incident reste assez forte : Pr(X=0) = e -1 = 37% Pour un risque de 1‰ la probabilité de n'observer aucun incident devient très faible : Pr(X=0) = e-10 = 0,0045%

Calcul du risque : Le risque maximal admis est celui associé à une probabilité 5% La probabilité de n'observer aucun incident vaut 5% : ✔ Pr(X = 0) = 5% ≈ e -3 ⇔ = 3 Conclusion : Si aucun évènement indésirable n'est enregistré sur N cas, on fixe le risque réel entre 0 et 3/N ■



PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 55



Les variables aléatoires continues Toutes les valeurs dans un intervalle sont possibles Traitement très différent de celui des variables aléatoires discrètes ■



La loi ne peut plus associer une probabilité à chaque valeur ✔ La probabilité d’une valeur précise est toujours nulle ✔

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La loi de probabilité d’une v.a. continue s’exprime à partir d’une fonction de densité Les probabilités font référence à des intervalles de valeurs : « Quelle est la probabilité d’avoir un taux d'insuline à jeun compris entre 36 et 110 pmol/L ? » ✔ « Supérieure à 200 pmol/L ? » ✔

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PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 56



Analogie : Le tronc d’un baobab Le tronc pèse 10 tonnes On le débite en tronçons infiniment fins (d’épaisseur nulle) c’est-à-dire de masse nulle ∑ tranches = tronc = 10 tonnes Répartition de la masse ⇔ densité ■







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La loi normale N(  ,  ) synonyme : Loi de Gauss Loi de Laplace Courbe « en cloche » Elle dépend de deux paramètres  : sa moyenne  : son écart type ■

■ ■

■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 61

Applications : Standardisation des résultats de tests d'aptitude ■

✔ ✔

Quotient intellectuel, Test de communication…



Modélisation de paramètres biométriques, biologiques…



Valeurs de référence Étalonnage — Normalisation





Taille, Taux de glycémie à jeun...

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 63

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 65

Quand rencontre-t-on une distribution gaussienne ? Nombreux facteurs de variation (explicatifs) Ex. : Le poids varie en fonction





✔ ✔

De la taille De l'hygiène de vie

Les fluctuations dues à ces facteurs sont : ✔ En tous sens ⇒ symétrie





Indépendantes



La Loi normale centrée et réduite : Si X est une variable aléatoire gaussienne : X ≈ N(  ;  ) Alors la v.a. Z définie par Z = ( X - ) /  Est distribuée selon une loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1 : Z ≈ N( 0 ; 1 )

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 67



Calcul des probabilités : On se ramène à la loi N(0, 1)

Pr  x1 X x2  =Pr  x 1− X − x 2−  x1 − X−  x 2− =Pr        =Pr  z1 Z z2  PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 69



Résolution : X  V.A. score au test de Wechsler X ≈ N (100 (100,, 10) 10) 1. Pr (100 < X < 112,6) = ? On passe à la v.a. : Z ≈ N (0, 1) ■





Pr 100 X 112,6 100 −100 X −100 112,6−100 = Pr     10 10 10 = Pr  0Z 1,26 

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 71

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 68



Exemple : Test de Wechsler (QI) Les scores au test de Wechsler (mesure du QI) sont normalisés. La moyenne des scores est de 100 pour un écart type de 10 1. Quelle est la probabilité d’un score compris entre 100 et 112,6 ? 2. Entre 85 et 115 ? 3. Supérieur à 125 ? 4. Compris entre 75 et 85 ? ■

■ ■ ■

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 70



Résolution : 2. Pr (85 < X < 115) = ? ■



Pr 85 X115 85−100 X −100 115−100 =Pr     10 10 10 =Pr −1,50Z 1,50

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 74

■ ■

0

z 1 1,1 1,2 1,3 1,4

0,3413 0,3643

1 0,3438 0,3665

0,3849 0,4032

0,3869 0,4049

0,4192

0,4207

1,5

0,4332

0,4345

1,6

0,4452

0,4463

1,7

0,4554

0,4564

Pr (0 < Z < 1,50) = 0,4332 Pr (-1,50 < Z < 1,50) = Pr (-1,50 < Z < 0) + Pr (0 < Z < 1,50) = Pr (0 < Z < 1,50) + Pr (0 < Z < 1,50) = 2 × 0,4332 = 0,8664 = 86,64%

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 76



4. Pr (75< X< 85) = Pr (-2,50< Z ≤ -1,5) B = 0,4938 – 0,4332 = 0,0606 = 6,06%

0. =

0. 5

0. 43

0. 49 38

32

B

=

A +

49

38



B

3. Pr (X ≥ 125) = Pr (Z ≥ 2,5) = 0,5 – Pr (0 < Z < 2,5) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062 = 6,2‰

A+



0

z = 2.50

100

x =125

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 77

z11=-2.50

x11 = 75

z22=-1.50 =-1.50

x22 = 85

100

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 78

z 1,4

3 0,4236

4

5

0,4251

0,4265

0,4382

0,4394

6 0,4279

1,5

0,4370

1,6

0,4484

1,7

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

1,8

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686



0,4495 0,4505

0,4406 0,4515

Pr (0 < Z < z 5%) = 0,45 z 5% = 1,645 1,645



x = 100 + 10 × 1,645 = 116,45 PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 80

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