Zuverlässigkeitstheorie

Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli Erste Grundlagen Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

Zuverl¨assigkeitstheorie 3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Prof. Jochen Seitz Fachgebiet Kommunikationsnetze“ ”

20. November 2008

Prof. J. Seitz

Zuverl¨ assigkeitstheorie

Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli Erste Grundlagen Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

¨ Ubersicht 1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 2 Erste Grundlagen

Wahrscheinlichkeit als relative H¨aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit 3 Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen Binomialverteilung Poisson-Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Prof. J. Seitz

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Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli Sei A ein zuf¨alliges Ereignis, das im Ergebnis eines Zufallsexperiments auftreten kann oder nicht. Dieses Experiment werde unter konstanten Bedingungen n-fach durchgef¨ uhrt. Dabei sei mit n(A) die absolute H¨aufigkeit des Eintretens des Ereignisses A bezeichnet, mit p(A) = n(A)/n die relative H¨aufigkeit. Sei p die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten von A, dann gilt: Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli F¨ ur eine beliebig kleine Zahl  gibt es eine Experimentanzahl n, so dass mit beliebig nahe bei 1 liegender Wahrscheinlichkeit die relative Wahrscheinlichkeit p(A) nicht weiter als um  von p abweicht. Prof. J. Seitz

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Interpretation Interpretation Bei gen¨ ugend großer Anzahl von Versuchen einer zuf¨alligen Ereignisses l¨asst sich die Wahrscheinlichkeit f¨ ur dessen Auftreten beliebig genau bestimmen. Bedeutung der Wahrscheinlichkeit Die Natur der Wahrscheinlichkeit ist derart, dass sie erlaubt, ziemlich genau (und nicht exakt) die Anzahl gewisser Ereignisse bei einer großen Zahl von Versuchen vorherzusagen. Der Ausgang eines einzelnen Versuchs kann jedoch nicht vorhergesagt werden, lediglich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines besttimmten Ereignisses bei einem Einzelexperiment kann genau abgesch¨atzt werden. Prof. J. Seitz

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Interpretation f¨ur technische Systeme

Interpretation der Zuverl¨ assigkeit technischer Systeme Es kann niemals exakt vorausgesagt werden, ob eine betrachtete technische Einheit einen vorgegebenen Zeitraum u ¨berlebt (oder nicht u ¨berlebt). Allerdings ist die Angabe einer Wahrscheinlichkeit ¨ f¨ ur das Uberleben (oder Ausfallen) der Einheit m¨ oglich.

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit beim W¨urfeln

Man w¨ urfle n-mal. Die Ergebnisse sind Ai = i f¨ ur i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jedes Ergebnis Ai trat mit der H¨aufigkeit ni auf. F¨ ur jedes Ergebnis Ai kann eine relative H¨aufigkeit hn (Ai ) = nni angegeben werden. ni n→∞ n

Es gilt lim hn (Ai ) = lim n→∞

= P(Ai )

P(Ai ) ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten von Ai . Aus 0 ≤ ni ≤ n folgt 0 ≤ P(Ai ) ≤ 1.

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Allgemeines

In der Praxis sind Wahrscheinlichkeiten meist relative H¨aufigkeiten: Zahl der g¨ unstigen Ausg¨ange Wahrscheinlichkeit = Zahl der m¨ oglichen Ausg¨ange Die Wahrscheinlichkeit des unm¨ oglichen Ereignisses: P(unm¨oglich) = 0 oder P(O) = 0 Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses: P(sicher) = 1 oder P(E ) = 1

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

¯ Ereignisse A und A

Sei das Auftreten eines bestimmten Ereignisses mit A beschrieben und ¯ daher das nicht-Auftreten desselben Ereignisses mit A. Dann gilt f¨ ur die Auftretenswahrscheinlichkeiten: PA + PA¯ = 1 PA¯ = 1 − PA P(A∪A) = 1 = PA + PA¯ ¯

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(1) (2) (3)

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Verbundwahrscheinlichkeiten sich ausschließender Ereignisse Allgemein gilt f¨ ur die Verbundwahrscheinlichkeit sich gegenseitig ausschließender Ereignisse A1 , A2 : P(A1 ∪A2 ) = PA1 + PA2

(4)

oder allgemein f¨ ur n sich gegenseitig ausschließende Ereignisse: P(A1 ∪A2 ∪A3 ∪···∪An ) =

n X

PAi

i=1

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(5)

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Verbundwahrscheinlichkeiten sich nicht ausschließender Ereignisse F¨ ur beliebige Ereignisse A und B, die sich nicht ausschließen, gilt: P(A∪B) = PA + PB − P(A∩B)

(6)

Dies ist vertr¨aglich zu Gleichung 4, da bei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen A und B die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig auftreten, gleich 0 ist, d. h. P(A∩B) = 0

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beispiel Kartenspiel – I

Gegeben sei ein Kartenspiel mit 52 Karten. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kartenziehen ein K¨onig gezogen wird (PK ). L¨osung: PK

=

PKkreuz + PKpik + PKherz + PKkaro 1 1 1 1 + + + 52 52 52 52

=

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=

1 13

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beispiel Kartenspiel – II

Gegeben sei ein Kartenspiel mit 52 Karten. Gesucht sei nun die Wahrscheinlichkeit, dass eine Herz-Karte oder eine 4 gezogen wird. L¨osung: Sei PHerz die Wahrscheinlichkeit, dass eine Herz-Karte gezogen wird, und P4 die Wahrscheinlichkeit, dass eine 4 gezogen wird. Diese Ereignisse schließen sich nicht aus, da das Ereignis “eine Herz-4 wurde gezogen” in beiden Ereignissen enthalten ist! Daher muss wie folgt vorgegangen werden:

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beispiel Kartenspiel – III 1

PHerz =

2

P4 =

1 13

3

PHerz

4

1 4

→ es gibt vier Farben;

→ es gibt vier Karten mit 4;

=

1 52

→ genau die Herz-4 wird gezogen.

Aus Gleichung 6 folgt:

Prot∪4 = PHerz + P4 − PHerz 1 1 1 + − = 4 13 52 4 = 13

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4

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit hat große Bedeutung in der Zuverl¨assigkeitstheorie. Es gilt: PA∩B

= PB ∗ PA/B

(7)

PA∩B

= PA ∗ PB/A PA∩B = PB PA∩B = PA

(8)

PA/B PB/A

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(9) (10)

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei einem Kartenspiel – I

Gesucht: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte die Herz-5 ist, wenn bereits bekannt ist, dass die gezogene Karte eine Herz-Karte ist. Sei daf¨ ur A das Ereignis, dass eine Herz-5 gezogen wurde und B das Ereignis, dass eine Herz-Karte gezogen wurde. Gesucht ist somit PA/B . L¨osung: Es gilt 1 PA = 52 ; 1 PB = 4 ; 1 PA∩B = 52 (= PA ).

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei einem Kartenspiel – II

Somit ist PA/B

= =

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PA∩B PB PA PB

=

1 52 1 4

=

1 13

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Wahrscheinlichkeit als relative H¨ aufigkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei unabh¨angigen Ereignissen

Wenn die Ereignisse unabh¨angig sind, d.h. wenn gilt PA/B = PA (Interpretation: Die Auftretenswahrscheinlichkeit von A ist unabh¨angig davon, ob B aufgetreten ist) gilt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das gemeinsame Auftreten dieser Ereignisse: n Y PA1 ∩A2 ∩A3 ∩···∩An = PAi (11) i=1

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Zufallsvariablen Zufallsvariablen, die interessierende Beobachtungsgegenst¨ande beschreiben, k¨onnen kontinuierlich oder diskret sein: Zufallsvariablen sind diskret, wenn ein zuf¨alliges Ereignis endlich viele oder abz¨ahlbar unendlich viele Werte annehmen kann. Beispiele sind somit das Auftreten einer bestimmten Karte in einem Kartenspiel, das Erscheinen einer bestimmten Zahl bei einem W¨ urfelspiel oder die Anzahl von defekten respektive funktionierenden Einheiten eines Ensembles. Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Menge der m¨oglichen Ereignisse nicht abz¨ahlbar. Hierzu k¨onnen beispielhaft Zeit, Temperatur, Spannung u.s.w. genannt werden. Prof. J. Seitz

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel: W¨urfeln – I Prinzipiell kann es beim W¨ urfeln mit genau einem W¨ urfel sechs m¨ogliche Ereignisse geben. Der Ereignisvektor ist somit E = [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ] = [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) ist dann die Zuordnung genau eines Wahrscheinlichkeitswertes zu jedem m¨oglichen Ereignis, d.h. zu jedem Element des Ereignisvektors: P(X = xi ) = P(xi ) = f (xi )

(12)

Da die xi den gesamten Ereignisraum bilden, es also keine anderen Ereignisse geben kann, gilt immer: X P(xi ) = 1 (13) ∀i Prof. J. Seitz

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel: W¨urfeln – II F¨ ur das Beispiel des W¨ urfelns ergibt sich 1 f (xi ) = 6 Das Auftreten der einzelnen Zahlen ist also gleich wahrscheinlich. ¨ Uber die angegebene Bedingung X X P(xi ) = f (xi ) ∀i

∀i

=

X1 ∀i

6

1 =1 6 kann man auch die Plausibilit¨at dieser Funktion u ufen. ¨berpr¨ = 6∗

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion gibt dann an, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis innerhalb eines bestimmten Bereiches eintritt. Sie wird auf der Basis der Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als F (xi ) = P(X ≤ xi ) X = f (xi )

(14) (15)

X ≤xi

Eine Verteilungsfunktion ist somit monoton wachsend und hat als Grenzwerte 0 und 1.

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion beim W¨urfeln

f(x)

1

F(x)

1/6

x 1

2

3

4

5

6

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x 1

2

3

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4

5

6

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Stetige Zufallsvariablen Betrachtet man nun Wahrscheinlichkeitsdichte und -verteilung einer stetigen Zufallsvariablen, so ist offensichtlich, dass diese ebenfalls stetig sind. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt dabei wiederum an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zuf¨alliger Wert eines Vorganges kleiner als das u ¨bergebene Argument x ist: F (x) = P(X ≤ x). Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich aus f (x) = F 0 (x): Zk F (k) = P(X ≤ k) =

f (y ) dy

(16)

−∞

F (−∞) = 0

(17)

F (∞) = 1

(18)

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel f¨ur stetige Zufallsvariablen I Ein elektrisches Signal hat eine zuf¨allige Spannung X im Bereich zwischen 0 und 1 V. Die Auftretenswahrscheinlichkeit ist im angegebenen Intervall gleich. Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsdichte: Die Fl¨ache unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist gleich 1. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten einer Spannung genau x ist gleich 0, da der Vorrat an m¨ oglichen Werten unendlich groß ist.

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel f¨ur stetige Zufallsvariablen II F¨ ur stetige Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass genau ein Wert auftritt, immer gleich 0. Es kann lediglich eine Wahrscheinlichkeit daf¨ ur angegeben werden, dass ein gemessener oder anders ermittelter Wert in einem spezifizierten Intervall liegt. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus Zx2 P(x1 < X ≤ x2 ) = f (x) dx

(19)

x1

Wichtig Mit der Dichte- oder Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist damit deren vollst¨andige Beschreibung m¨ oglich. Prof. J. Seitz

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Wichtige Werte

Oftmals sind Aussagen u ¨ber das mittlere Gesamtverhalten einer Zufallsvariablen ausreichend. Die wichtigsten Aussagen, die u ¨ber eine Zufallsvariable getroffen werden k¨ onnen, sind deren Mittelwert oder Erwartungswert; deren quadratischer Mittelwert; deren mittlere quadratische Abweichung Diese werden im Folgenden kurz behandelt.

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

(Linearer) Mittelwert einer diskreten Zufallsvariablen

Der Mittelwert einer diskreten Zufallsvariablen berechnet sich aus m1 = = = = =

m E [X ] x¯ P xi ∗Ni ∀xi P

N

P(xi ) ∗ xi

∀xi

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(20)

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

(Linearer) Mittelwert einer stetigen Zufallsvariablen

F¨ ur stetige Zufallsvariablen gilt: Z∞ x ∗ f (x) dx

m= −∞

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(21)

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel: Dreiecksverteilung I

Diese ensteht bei der Summe von zwei unabh¨angigen, gleichverteilten R(0, 1) Zufallsvariablen [1]. Die Wahscheinlichkeitsdichte ist somit gegeben durch  0≤x 0 2πσ

wobei µ einen Ortsparameter (das Mittel) und σ einen Skalierungsparameter darstellen [2].

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Dichte der Normalverteilung

Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bild: Normal_density.svg&filetimestamp=20080316210707 Prof. J. Seitz

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Die Verteilungsfunktion ist nat¨ urlich das Integral u ¨ber f , d. h. Zx F (x) =

Zx f (t)dt =

−∞

−∞

√

(t−µ)2 1 e − 2σ2 dt 2πσ

Ihre Berechnung ist nicht ganz einfach, entsprechende Werte werden u ¨blicherweise Tabellen entnommen.

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Standard-Normalverteilung I Betrachten wir nun die transformierte Zufallsvariable Z = X σ−µ , wobei X N(µ, σ 2 ) verteilt ist. Die Verteilungsfunktion G(z) wird zu G (z) = P(Z ≤ z) X −µ = P( ≤ z) σ = P(X ≤ zσ + µ) = F (zσ + µ) zσ+µ Z (t−µ)2 1 √ = e − 2σ2 dt 2πσ −∞

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Standard-Normalverteilung II

Die Transformation der Integrationsvariablen t → zσ + µ liefert Zz G (z) = −∞ Zz

=

t2 1 √ e − 2 dt 2π

g (t)dt −∞

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Standard-Normalverteilung III

G und g werden dann Verteilungsfunktion bzw. Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung N(0,1) genannt, die manchmal auch mit Φ respektive φ bezeichnet werden. Die Verteilung heißt auch Gauß’sch.

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Beispiel I

Ein Psychologe benutzt ein Instrument, das ihm Werte liefert, die N(500, 10.000) verteilt sind. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 600 ist. 600 − 500 X − 500 ≤ ) 100 100 = P(Z ≤ 1)

P(X ≤ 600) = P(

= G (1) = 0.8413

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Beispiel II Wie groß ist die Schranke, unter der ein Wert mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt?

0.95 = P(X ≤ x) x − 500 X − 500 ≤ ) = P( 100 100 x − 500 = G( ) 100 Aus der Tabelle folgt x = 664 ergibt.

x−500 100

= 1.64, woraus sich die Schranke

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Exponentialfunktion Die Exponentialverteilung hat die Dichtefunktion f (t) = λe −λt , t ≥ 0, λ > 0

(39)

und die Verteilungsfunktion F (t) = 1 − e −λt , t ≥ 0, λ > 0

(40)

Diese Verteilung wird im weiteren Verlauf der Vorlesung mit anderen wichtigen Verteilungen zur Modellierung des Zuverl¨assigkeitsverhaltens genauer behandelt.

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Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Mittelwerte von Zufallsvariablen Beispiele f¨ ur Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen

Literatur

R. Dutter, “Einf¨ uhrung in die wahrscheinlichkeitsrechnung und statistik (f¨ ur informatiker).” http: //pc2.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/inf/, Sommersemester 1998/99. Skriptum zur Vorlesung an der Technischen Universit¨at Wien. W. Gromes, “Mathematik f¨ ur biologen und humanbiologen.” http://www.mathematik.uni-marburg.de/~gromes/ biologen.html, Wintersemester 2000/2001. Skript zur Vorlesung an der Universit¨at Marburg.

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